Jednadžba pravca

Odredite kanonsku i parametarsku jednadžbu pravca koji

a)

prolazi točkama

b)

je zadan kao presjek ravnina

$\displaystyle \pi_1 \ \ldots\ x - y + z - 4 = 0 \quad\textrm{ i }\quad \pi_2 \ \ldots\ 2x + y - 2z + 5 = 0.$

Rješenje.

a)

Budući da vektor

$\displaystyle \overrightarrow{MN}=\mathbf{r}_N-\mathbf{r}_M=\mathbf{i}-2\mathbf{j}+4\mathbf{k}$

leži na pravcu, vektor smjera zadanog pravca je $\mathbf{s}=\{1, -2, 4\}$ . Potrebna je još jedna točka kojom pravac prolazi, pa odaberimo

. Prema

[M1, poglavlje 3.13], kanonska jednadžba pravca

glasi

$\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{4}.$

Stavimo

$\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{4}=t,\quad t\in\mathbb{R}.$

Odavde slijedi parametarska jednadžba pravca

$\displaystyle x=1+t,\quad y=2-2t, \quad z=-1+4t,\quad t\in\mathbb{R}.$

b)

Zbrajanjem jednadžbi ravnina $\pi_1$ i $\pi_2$ slijedi

$\displaystyle 3x-z+1=0,$

odakle je

$\displaystyle z=3x+1.$

Uvrštavanjem u prvu jednadžbu dobivamo

$\displaystyle y=x+z-4=x+(3x+1)-4=4x-3.$

Stavimo $x=t,\, t\in\mathbb{R}$ . Tada je

$\displaystyle x=t,\quad y=4t-3,\quad z=3t+1,\quad t\in\mathbb{R}$

jednoparametarsko rješenje sustava jednadžbi ravnina $\pi_1$ i $\pi_2$ , a ujedno i parametarska jednadžba zadanog pravca. Eliminacijom parametra

dobivamo kanonsku jednadžbu

$\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-1}{3}.$