×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Jednadžba ravnine     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Okomite ravnine


Pramen ravnina

Kroz presjek ravnina zadanih jednadžbama $ 4x-y+3z-1=0$ i $ x+5y-z+2=0$ postavite ravninu koja
a)
prolazi točkom $ M(1,0,2)$ .

b)
je paralelna s $ xy$ -ravninom.

c)
je okomita na ravninu $ 2x-y+5z-3=0$ .

Rješenje. Proizvoljna ravnina koja prolazi presjekom zadanih ravnina je dana jednadžbom

$\displaystyle (4x-y+3z-1)+\lambda (x+5y-z+2)=0,$

za neku vrijednost parametara $ \lambda\in\mathbb{R}$ . Sređivanjem dobivamo

$\displaystyle (4+\lambda)x+(-1+5\lambda)y+(3-\lambda)z+(-1+2\lambda)=0.$ (3.2)

a)
Uvrštavanjem koordinata točke $ M$ , koja leži u ravnini, u (3.2) dobivamo

$\displaystyle (4+\lambda)\cdot1+(-1+5\lambda)\cdot0+(3-\lambda)\cdot2+(-1+2\lambda)=0.$

Odatle je $ \lambda=-9$ pa jednadžba tražene ravnine glasi

$\displaystyle 5x+46y-12z+19=0.$

b)
Iz paralelnosti zadane ravnine s $ xy$ -ravninom slijedi da je vektor normale

$\displaystyle \mathbf{n}=\{4+\lambda, -1+5\lambda, 3-\lambda\}$

okomit na vektore $ \mathbf{i}=\{1,0,0\}$ i $ \mathbf{j}=\{0,1,0\}$ , pa je $ \mathbf{n} \cdot \mathbf{i}=0$ i $ \mathbf{n}\cdot \mathbf{j}=0$ . Dobiveni sustav jednadžbi

$\displaystyle 4+\lambda$ $\displaystyle =0,$    
$\displaystyle -1+5\lambda$ $\displaystyle =0,$    

nema rješenja pa ne postoji ravnina koja ispunjava zadane uvjete.

c)
Ako su ravnine okomite, njihovi vektori normala su okomiti. Vektor normale ravnine $ 2x-y+5z-3=0$ je $ \mathbf{n}_1=\{2, -1, 5\}$ i vrijedi $ \mathbf{n}_1\cdot \mathbf{n}=0$ , odnosno

$\displaystyle 2(4+\lambda)-(-1+5\lambda)+5(3-\lambda)=0.$

Rješenje ove jednadžbe je $ \lambda=3$ , čijim uvrštavanjem u (3.2) dobivamo jednadžbu tražene ravnine:

$\displaystyle 7x+14y+5=0.$


Jednadžba ravnine     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Okomite ravnine