Površina i duljina dijagonala romba

Neka su $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$ jedinični vektori koji zatvaraju kut od $\displaystyle\frac{\pi}{3}$ . Izračunajte duljine dijagonala i površinu romba razapetog vektorima $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$ .

Rješenje. Označimo s $\mathbf{e}$ i $\mathbf{f}$ dijagonale romba. Tada je

$\displaystyle \mathbf{e}=\mathbf{a}+\mathbf{b} \quad\textrm{i}\quad \mathbf{f}=\mathbf{b}-\mathbf{a},$

pa vrijedi

	$\displaystyle \vert\mathbf{e}\vert^2=(\mathbf{a}+\mathbf{b})^2=\vert\mathbf{a}\vert^2+2 \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\vert\mathbf{b}\vert^2=1+2\cdot\frac{1}{2}+1=3,$
	$\displaystyle \vert\mathbf{f}\vert^2=(\mathbf{b}-\mathbf{a})^2=\vert\mathbf{b}\vert^2-2 \mathbf{b}\cdot\mathbf{a}+\vert\mathbf{a}\vert^2=1-2\frac{1}{2}+1=1.$

Stoga su duljine dijagonala jednake

$\displaystyle \vert\mathbf{e}\vert=\sqrt{3} \quad\textrm{i}\quad \vert\mathbf{f}\vert=1.$

Budući se dijagonale romba raspolavljaju i sijeku pod pravim kutom, površina romba iznosi

$\displaystyle P=\frac{1}{2}\vert\mathbf{e}\vert\cdot\vert\mathbf{f}\vert=\frac{\sqrt{3}}{2}.$