×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Laplaceov razvoj determinante -tog     LINEARNA ALGEBRA     Regularna matrica


Računanje determinante $ n$ -tog reda svođenjem na trokutasti oblik

Izračunajte determinantu $ n$ -tog reda

$\displaystyle D=\begin{vmatrix}-1 & 2 & 2 & \dots & 2 \\ 2 & -1 & 2 & \dots & 2...
...ts & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 2 & 2 & 2 & \dots & -1 \end{vmatrix}.$    

Rješenje. Za razliku od prethodnog primjera u ovoj determinanti ne postoje stupci ili retci s puno nula. Međutim, zbog simetrije s obzirom na glavnu dijagonalu, ovu determinantu prikladno je izračunati svođenjem na trokutasti oblik. Naime, kada bi se u prvom retku nalazile samo jedinice, trokutasti oblik bi se lako dobio množenjem prvog retka s $ -2$ i pribrajanjem ostalim retcima. S obzirom da je suma elemenata u svakom stupcu jednaka $ -1+(n-1)\cdot 2=2n-3$ , prvom retku pribrojimo sumu preostalih $ n-1$ redaka. Time dobivamo

$\displaystyle D$ $\displaystyle = \begin{vmatrix}2n-3 & 2n-3 & 2n-3 & \dots & 2n-3 \\ 2 & -1 & 2 ...
...ots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 2 & 2 & 2 & \dots & -1 \end{vmatrix}$    
  $\displaystyle = (2n-3) \begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 2 & -1 & 2 & \do...
...2-2R_1}\\ \scriptstyle{R_3-2R_1}\\ \\ [2ex] \scriptstyle{R_n-2R_1} \end{matrix}$    
  $\displaystyle =(2n-3) \begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 0 & -3 & 0 & \dot...
...dots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & -3\end{vmatrix}$    
  $\displaystyle =(2n-3)[1\underbrace{\cdot(-3)\cdot(-3)\cdots(-3)}_{n-1 \textrm{ puta}}]=(-3)^{n-1}(2n-3),$    

jer je determinanta trokutaste matrice jednaka umnošku elemenata na dijagonali.


Laplaceov razvoj determinante -tog     LINEARNA ALGEBRA     Regularna matrica