×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Računanje determinante svođenjem na     LINEARNA ALGEBRA     Računanje determinante -tog reda


Laplaceov razvoj determinante $ n$ -tog reda

Izračunajte determinantu $ n$ -tog reda

$\displaystyle D=\begin{vmatrix}\alpha & \beta & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \alpha & \...
...0 & 0 & \dots & \alpha & \beta \\ \beta & 0 & \dots & 0 & \alpha \end{vmatrix}.$    

Rješenje. Uočimo da se na glavnoj dijagonali nalaze elementi $ \alpha$ te da se elementi $ \beta$ nalaze na dijagonali iznad glavne i na mjestu $ (n,1)$ . Na ovu determinantu stoga primijenimo Laplaceov razvoj po prvom stupcu, jer ćemo time dobiti dvije trokutaste determinante reda $ n-1$ . Vrijedi

$\displaystyle D$ $\displaystyle = (-1)^{1+1}\alpha \begin{vmatrix}\alpha & \beta & 0 & \dots & 0 ...
...dots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \alpha & \beta \end{vmatrix}$    
  $\displaystyle = \alpha\cdot \alpha^{n-1}+(-1)^{n+1}\beta \cdot\beta^{n-1} = \alpha^n+(-1)^{n+1}\beta^n,$    

jer je determinanta trokutaste matrice jednaka umnošku elemenata na dijagonali.