×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Sustav linearnih jednadžbi ovisan     LINEARNA ALGEBRA     Rang matrice


Homogeni sustav jednadžbi ovisan o parametru

Odredite sve realne parametre $ p$ za koje sustav

$\displaystyle \begin{matrix}
x_{1}&+&3x_{2}&+&2x_{3}&+&x_{4}&=&0, \\
x_{1}&+&x...
...&17x_{3}&+&8x_{4}&=&0, \\
2x_{1}&+&px_{2}&+&11x_{3}&-&5x_{4}&=&0.
\end{matrix}$

ima samo trivijalno rješenje.

Rješenje. Sustav je homogen pa je dovoljno primijeniti Gaussovu metodu eliminacije iz [*] [M1, poglavlje 2.4] na matricu sustava. Vrijedi

$\displaystyle A=\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 4 & p \\
-3 & 2 &...
...
0 & -2 & 2 & p-1 \\
0 & 11 & -11 & 11 \\
0 & p-6 & 7 & -7
\end{bmatrix}$

Budući da drugi redak sadrži parametar $ p$ , da bi pojednostavnili računanje, zamijenimo ga s trećim retkom koji ga ne sadrži. Također, podijelimo treći redak s $ 11$ . Tada je

$\displaystyle A\sim\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & ...
...\
0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & p+1 \\
0 & 0 & p+1 & -p-1
\end{bmatrix}.$

Da bi dobili gornje trokutasti oblik, sada moramo zamijeniti treći i četvrti redak. Stoga za proširenu matricu sustava vrijedi

$\displaystyle \begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b} \end{bmatrix}\sim\begin{bmatri...
...
0 & 0 & p+1 & -p-1&\vline & 0\\
0 & 0 & 0 & p+1 &\vline & 0
\end{bmatrix}.$

Ako homogeni sustav ima jedinstveno rješenje, onda je ono trivijalno. Rješenje očito nije jedinstveno ako je $ p=-1$ jer se tada treći i četvrti redak sastoje samo od nula, a sustav ima četiri nepoznanice. Međutim, za sve parametre $ p\neq -1$ dijeljenjem trećeg i četvrtog retka s $ p+1\neq 0$ dobivamo da je

$\displaystyle \begin{bmatrix}A&\vline&\mathbf{b} \end{bmatrix}\sim\begin{bmatri...
... & 0\\
0 & 0 & 1 & 1&\vline & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 &\vline & 0
\end{bmatrix},$

što je proširena matrica sustava koji ima jedinstveno trivijalno rješenje.