×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Kompleksna ravnina     OSNOVE MATEMATIKE     Sustav nejednadžbi u skupu


Sustav jednadžbi u skupu kompleksnih brojeva

Riješite jednadžbu

$\displaystyle a^{10} z^2 = \vert a^3\vert \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^3,$ (1.10)

ako za kompleksni broj $ a$ vrijedi

$\displaystyle \vert a\vert+a = \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\,i.$ (1.11)

Rješenje. Uvrštavanjem $ a=x+iy$ u (1.11) slijedi

$\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}+x+iy = \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\,i.$    

Zbog jednakosti kompleksnih brojeva s lijeve i desne strane jednadžbe vrijedi

$\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}+x = \frac{3}{2}\quad\textrm{ i }\quad y = -\frac{\sqrt{3}}{2},$    

odakle slijedi

$\displaystyle \sqrt{x^2+\frac{3}{4}}$ $\displaystyle = \frac{3}{2}-x,$    
$\displaystyle x^2+\frac{3}{4}$ $\displaystyle = \frac{9}{4} -3x +x^2,$    
$\displaystyle x$ $\displaystyle = \frac{1}{2}.$    

Dakle,

$\displaystyle a=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\,i$

Da bismo riješili jednadžbu (1.10), trebamo prvo izračunati $ a^{10}$ . Prema poglavlju [*] [M1, poglavlje 1.8.1] je $ \vert a\vert=1$ , a za argument vrijedi $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi =-\sqrt{3}$ pa je trigonometrijski oblik jednak

$\displaystyle a = 1\cdot\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right).$    

De Moivreova formula [M1, (1.4)] [*] za $ n=10$ daje

$\displaystyle a^{10}$ $\displaystyle = 1^{10}\left[\cos\left(10\cdot\frac{5\pi}{3}\right)+i\sin\left(1...
...t)\right] = \cos\left(\frac{50\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{50\pi}{3}\right)=$    
  $\displaystyle = \cos\left(16\pi+\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(16\pi+\frac{2\...
...i}{3}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.$    

Nadalje, zbog $ \vert a\vert=1$ je $ \vert a^3\vert=\vert a\vert^3=1$ . Još vrijedi

$\displaystyle \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^3=\left(\frac{1+i}{1-i}\cdot\frac{1+...
...t)^3=
\left(\frac{1+2i+i^2}{1-i^2}\right)^3=\left(\frac{2i}{2}\right)^3=i^3=-i.$

Uvrštavanjem dobivenih rezultata u (1.10) dobivamo

$\displaystyle \left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) z^2 = -i,$    

odnosno $ z^2=w$ , pri čemu je

$\displaystyle w = \frac{-i}{\displaystyle -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}=\fr...
...,i}{\displaystyle -\frac{1}{4}-\frac{3}{4}}=-\frac{\sqrt{3}}{2} +\frac{1}{2}\,i$    

ili u trigonometrijskom obliku

$\displaystyle w =1\cdot\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right).$    

Primjenom formule [M1, (1.5)] [*] za $ n=2$ slijedi

$\displaystyle \sqrt{w} = \sqrt{1}\left(\cos\frac{\frac{5\pi}{6}+2k\pi}{2}+ i\sin\frac{\frac{5\pi}{6}+2k\pi}{2}\right), \quad k=0,1.$    

Dakle, rješenja jednadžbe (1.10) su:

  $\displaystyle z_0=\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12},$    
  $\displaystyle z_1=\cos\frac{17\pi}{12}+i\sin\frac{17\pi}{12}.$    


Kompleksna ravnina     OSNOVE MATEMATIKE     Sustav nejednadžbi u skupu