Taylorov razvoj trigonometrijske funkcije

Razvijte u Taylorov red oko točke $x_0=\frac{\pi -6}{4}$ funkciju zadanu s

$\displaystyle f(x)=\sin^2(2x+3)$

i odredite područje konvergencije dobivenog reda.

Rješenje. Zbog svojstava trigonometrijskih funkcija, zadana funkcija je jednaka

$\displaystyle f(x)$

$\displaystyle =\sin^2(2x+3)=\frac{1}{2} \left[1-\cos (4x+6)\right]=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos (4x+6).$

Odredimo prvo

-tu derivaciju funkcije

u točki $x_0=\frac{\pi -6}{4}$ . Vrijedi

$\displaystyle f{'}(x)$	$\displaystyle =-\frac{1}{2}\cdot[-\sin(4x+6)]\cdot 4 =-\frac{1}{2}\cdot\cos\left(4x+6+\frac{\pi}{2}\right)\cdot 4,$
$\displaystyle f{''}(x)$	$\displaystyle =-\frac{1}{2}\cdot[-\cos(4x+6)]\cdot 4^2 =-\frac{1}{2}\cdot\cos\left(4x+6+2\cdot\frac{\pi}{2}\right)\cdot 4^2,$
$\displaystyle f{'''}(x)$	$\displaystyle =-\frac{1}{2}\cdot\sin(4x+6)\cdot 4^3 =-\frac{1}{2}\cdot\cos\left(4x+6+3\cdot\frac{\pi}{2}\right)\cdot 4^3,$

pa zaključujemo

$\displaystyle f^{(n)}(x)=-\frac{1}{2}\cdot\cos\left(4x+6+n\cdot\frac{\pi}{2}\right)\cdot 4^n,$

odakle slijedi

$\displaystyle f^{(n)}\left(\frac{\pi-6}{4}\right)$

$\displaystyle =-\frac{1}{2}\cdot\cos\left(\pi+n\cdot\frac{\pi}{2}\right)\cdot 4^n=\cos\left(\frac{n\,\pi}{2}\right)\cdot2^{2n-1}.$

Promatrajući parne i neparne

-ove, dobivamo da za $k\in \mathbb{N}$ vrijedi

$\displaystyle f^{(2k)}\left(\frac{\pi-6}{4}\right)=(-1)^k\cdot 2^{4k-1}\quad\textrm{i}\quad f^{(2k+1)}\left(\frac{\pi-6}{4}\right)=0.$

Prema

[M1, teorem 6.18], Taylorov razvoj funkcije

oko točke $x_0=\frac{\pi -6}{4}$ glasi

$\displaystyle f(x)=1+\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \frac{\quad 2^{4k-1}}{(2k)!} \left(x-\frac{\pi -6}{4} \right)^{2k}.$

Odredimo područje konvergencije dobivenog reda D'Alembertovim kriterijem. Iz

$\displaystyle \lim_{k\to \infty} \left\vert\frac{a_{2(k+1)}}{a_{2k}}\right\vert$	$\displaystyle = \lim_{k\to \infty} \left\vert\frac{(-1)^{k+1} \displaystyle\fra... ...e\frac{\quad 2^{4k-1}}{(2k)!} \left(x-\frac{\pi -6}{4} \right)^{2k}}\right\vert$
	$\displaystyle =\lim_{k\to \infty}\frac{2^4 }{(2k+1)(2k+2)}\cdot\left(x-\frac{\pi -6}{4} \right)^2=0,$

zaključujemo da promatrani red konvergira za sve $x\in \mathbb{R}$ .