×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
MacLaurinov razvoj logaritamske funkcije     NIZOVI I REDOVI     Taylorov razvoj trigonometrijske funkcije


Taylorov razvoj iracionalne funkcije

Razvijte u Taylorov red oko točke $ x_0=1$ funkciju $ f$ zadanu s

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{(5x-4)^7}}$    

i odredite područje konvergencije dobivenog reda.

Rješenje. Iz

$\displaystyle f{'}(x)$ $\displaystyle =-\left(\frac{7}{3}\right) (5x-4)^{-\frac{10}{3}} \cdot 5,$    
$\displaystyle f{''}(x)$ $\displaystyle =\left(-\frac{7}{3}\right) \left(-\frac{10}{3}\right) (5x-4)^{-\frac{13}{3}}\cdot 5^2,$    
$\displaystyle f{'''}(x)$ $\displaystyle =\left(-\frac{7}{3}\right) \left(-\frac{10}{3}\right) \left(-\frac{13}{3}\right) (5x-4)^{-\frac{16}{3}}\cdot 5^3,$    

slijedi

$\displaystyle f^{(n)}(x)$ $\displaystyle =\left(-\frac{7}{3}\right) \left(-\frac{10}{3}\right)\cdots \left(-\frac{3n+4}{3}\right) (5x-4)^{-\frac{3n+7}{3}} \cdot 5^n$    
  $\displaystyle =(-1)^n \frac{7\cdot 10\cdots(3n+4)}{3^n}\cdot (5x-4)^{-\frac{3n+7}{3}}\cdot 5^n,$    

pa je

$\displaystyle f^{(n)}(1)=(-1)^n\,\, 7\cdot 10\cdots(3n+4)\cdot\left(\frac{5}{3}\right)^n.$    

Prema [*] [M1, teorem 6.18], Taylorovog razvoj funkcije $ f$ oko točke $ x_0=1$ glasi

$\displaystyle f(x) = f(1)+\sum_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(1)}{n!} (x-1)^n,$    

odakle uvrštavanjem $ f(1)$ i $ f^{(n)}(1)$ slijedi

$\displaystyle f(x) = 1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{7\cdot 10\cdots(3n+4)}{n!} \cdot\left(\frac{5}{3}\right)^n (x-1)^n,$    

Budući je

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert$ $\displaystyle = \lim_{n\to \infty} \left\vert\frac{(-1)^{n+1} \displaystyle\fra...
...{7\cdot 10\cdots(3n+4)}{n!} \cdot\left(\frac{5}{3}\right)^n (x-1)^n}\right\vert$    
  $\displaystyle =\lim_{n\to \infty} \frac{3n+7}{n+1}\cdot\frac{5}{3}\cdot\vert x-1\vert=5\vert x-1\vert,$    

D'Alembertov kriterij povlači da red konvergira za $ x\in \left\langle\frac{4}{5},\frac{6}{5} \right\rangle$ .


MacLaurinov razvoj logaritamske funkcije     NIZOVI I REDOVI     Taylorov razvoj trigonometrijske funkcije