×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja     OSNOVE MATEMATIKE     Korjenovanje kompleksnih brojeva


Potenciranje kompleksnih brojeva

Koristeći trigonometrijski oblik kompleksnog broja izračunajte:
a)
$ \displaystyle (1+i)^{10}$ ,

b)
$ \displaystyle\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\,i\right)^{50}$ .

Rješenje.

a)
Prema zadatku 1.12 a), trigonometrijski oblik od $ z=1+i$ je

$\displaystyle z=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right).$

De Moivreova formula [M1, (1.4)] [*] za $ n=10$ daje

$\displaystyle z^{10}$ $\displaystyle =\left(\sqrt{2}\right)^{10}\left[\cos\left(10\cdot\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(10\cdot\frac{\pi}{4}\right)\right]$    
  $\displaystyle =2^5\left(\cos\frac{5\pi}{2}+i\sin\frac{5\pi}{2}\right)$    
  $\displaystyle =32\left[\cos\left(2\pi+\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(2\pi+\frac{\pi}{2}\right)\right]$    
  $\displaystyle =32\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=32(0+i)=32i,$    

odnosno vrijedi

$\displaystyle (1+i)^{10}=32i.$

b)
Promotrimo kompleksni broj

$\displaystyle z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\,i.$

Prema zadatku 1.12 pod (b), trigonometrijski oblik od $ z$ je

$\displaystyle z=1\cdot\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right).$

De Moivreova formula [M1, (1.4)] [*] za $ n=50$ daje

$\displaystyle z^{50}$ $\displaystyle =1^{50}\cdot\left[\cos\left(50\cdot\frac{5\pi}{3}\right)+i\sin\left(50\cdot\frac{5\pi}{3}\right)\right]$    
  $\displaystyle =\cos\frac{250\pi}{3}+i\sin\frac{250\pi}{3}$    
  $\displaystyle =\cos\left(82\pi+\frac{4\pi}{3}\right)+i\sin\left(82\pi+\frac{4\pi}{3}\right)$    
  $\displaystyle =\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}$    
  $\displaystyle =-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i.$    

Dakle,

$\displaystyle \left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\,i\right)^{50}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i.$


Trigonometrijski oblik kompleksnog broja     OSNOVE MATEMATIKE     Korjenovanje kompleksnih brojeva