×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Limes niza rastavljanjem na     NIZOVI I REDOVI     Suma reda s logaritmima

Konvergencija i suma reda

Izračunajte sumu reda

$$\sum_{n=1}^\infty\left(\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right).$$

Konvergira li zadani red?

Rješenje. Izračunajmo prvo $k$ -tu parcijalnu sumu zadanog reda. Ukidanjem članova je

$$s_k= \sum_{n=1}^k\left(\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)$$

$$= \quad\left(\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)+$$

$$+\left(\sqrt{4}-2\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)+$$

$$+\left(\sqrt{5}-2\sqrt{4}+\sqrt{3}\right)+$$

$$+\left(\sqrt{6}-2\sqrt{5}+\sqrt{4}\right)+$$

$$\vdots$$

$$+\left(\sqrt{k}-2\sqrt{k-1}+\sqrt{k-2}\right)+$$

$$+\left(\sqrt{k+1}-2\sqrt{k}+\sqrt{k-1}\right)+$$

$$+\left(\sqrt{k+2}-2\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right)$$

$$= 1-\sqrt{2}-\sqrt{k+1}+\sqrt{k+2}.$$

Budući se racionalizacijom dobije

$$\lim_{k\to\infty}\left(\sqrt{k+2}-\sqrt{k+1}\right)=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k+1}}=0,$$

prema tvrdnji [M1, teorem 6.6 (i)], slijedi

$$\lim_{k\to\infty} s_k=\left(1-\sqrt{2}\right)+\lim_{k\to\infty}\left(\sqrt{k+2}-\sqrt{k+1}\right)=1-\sqrt{2}.$$

Dakle, niz parcijalnih suma zadanog reda konvergira. Stoga, prema [M1, definicija 6.9], zadani red konvergira i suma reda je jednaka

$$s=\lim_{k\to\infty} s_k=1-\sqrt{2}.$$

Limes niza rastavljanjem na     NIZOVI I REDOVI     Suma reda s logaritmima