Limes produkta

Odredite limes niza čiji je opći član

$\displaystyle a_n=\frac{\sqrt[3]{n^2}\sin{n}}{n+1}.$

Rješenje. Iz [M1, teorem 6.7] specijalno slijedi da produkt niza koji teži k nuli i omeđenog niza teži k nuli. Zadani niz možemo zapisati kao produkt nizova

$\displaystyle b_n=\frac{\sqrt[3]{n^2}}{n+1}\quad\textrm{i}\quad c_n=\sin n.$

Vrijedi

$\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty}b_n=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\sqrt[3]{n^2}}{n+1}=0.$

S druge strane je

$\displaystyle \vert c_n\vert=\vert\sin n\vert\leq 1, \quad\textrm{za svaki } n\in\mathbb{N},$

pa je $\{c_n\}$ omeđen. Stoga niz $\{a_n\}$ teži k nuli.