Gomilište niza

Odredite sva gomilišta niza

$\displaystyle \frac{3}{8},\frac{2}{7},\frac{9}{14},\frac{4}{13},\frac{27}{32},\frac{8}{25},\frac{81}{86},\frac{16}{49},\ldots$

Konvergira li zadani niz?

Rješenje. Grupiramo li članove zadanog niza na sljedeći način

$\displaystyle \frac{3}{8},\frac{9}{14},\frac{27}{32},\frac{81}{86},\ldots$

(6.2)

$\displaystyle \frac{2}{7},\frac{4}{13},\frac{8}{25},\frac{16}{49},\ldots$

(6.3)

dobivamo dva nova niza, pri čemu je opći član niza (6.2) jednak

$\displaystyle a_{2k-1}=\frac{3^k}{3^k+5},$

a opći član niza (6.3) jednak

$\displaystyle a_{2k}=\frac{2^k}{3\cdot 2^k+1}.$

Vrijedi

	$\displaystyle \lim_{k\to \infty}a_{2k-1}=\lim_{k\to \infty}\frac{3^k}{3^k+5}= \lim_{k\to \infty}\frac{1}{1+5\cdot\frac{1}{3^k}}=1,$
	$\displaystyle \lim_{k\to \infty}a_{2k}=\lim_{k\to \infty}\frac{2^k}{3\cdot 2^k+1}= \lim_{k\to \infty}\frac{1}{3+\frac{1}{2^k}}=\frac{1}{3}.$

Prema

[M1, poglavlje 6.1.1], zadani niz ima dva gomilišta,

i $\frac{1}{3}$ , pa stoga divergira.