×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
NIZOVI I REDOVI     NIZOVI I REDOVI     Gomilište niza


Limes niza po definiciji

Dokažite da je

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}{\left(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}\right)}=0.$    

Rješenje. Da bismo dokazali da je

$\displaystyle \lim_{n\to
\infty}{\left(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}\right)}=0,$

prema [*] [M1, definicija 6.3], trebamo za svaki $ \varepsilon>0$ pronaći $ n_{\varepsilon}\in \mathbb{N}$ takav da za svaki $ n\geq n_{\varepsilon}$ vrijedi

$\displaystyle \mid a_n-a\mid <\varepsilon,$ (6.1)

gdje je $ a_n=\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}$ i $ a=0$ .

Budući je $ \sqrt[3]{n+1}>\sqrt[3]{n}$ , odnosno $ \sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}>0$ , slijedi

$\displaystyle \mid a_n-a\mid=\mid (\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n})-0\mid=\mid \sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}\mid=\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}.$    

Dakle, za svaki $ n\geq n_{\varepsilon}$ treba biti

$\displaystyle \sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}<\varepsilon.$    

Racionalizacijom dobivamo

$\displaystyle \left(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}\right)\cdot \frac{\sqrt[3]{(n+1)^...
...}+\sqrt[3]{n^2}}{\sqrt[3]{(n+1)^2}+\sqrt[3]{n(n+1)}+\sqrt[3]{n^2}}<\varepsilon,$    

odnosno,

$\displaystyle \frac{(n+1)-n}{\sqrt[3]{(n+1)^2}+\sqrt[3]{n(n+1)}+\sqrt[3]{n^2}}<\varepsilon.$    

Množenjem cijele nejednakosti s nazivnikom slijedi

$\displaystyle 1<\varepsilon \left(\sqrt[3]{(n+1)^2}+\sqrt[3]{n(n+1)}+\sqrt[3]{n^2}\right).$    

Nadalje, vrijedi

$\displaystyle 1<\varepsilon \left(\sqrt[3]{(n+1)^2}+\sqrt[3]{n(n+1)}+\sqrt[3]{n^2}\right)<\varepsilon \left(3\, \sqrt[3]{(n+1)^2}\right)$    

jer je $ n(n+1)<(n+1)^2$ , za svaki $ n\in \mathbb{N}$ . Stoga dobivamo

$\displaystyle \frac{1}{3\varepsilon}<\sqrt[3]{(n+1)^2}.$    

Potenciranjem cijele nejednakosti slijedi

$\displaystyle \frac{1}{27 \varepsilon^3}<(n+1)^2,$    

odnosno,

$\displaystyle n>\frac{1}{\sqrt{27 \varepsilon^3}}-1.$    

S obzirom da je posljednja nejednakost ekvivalentna nejednakosti (6.1), zaključujemo da možemo izabrati

$\displaystyle n_\varepsilon=\bigg\lfloor \frac{1}{\sqrt{27 \varepsilon^3}}-1\bigg\rfloor+1.$    

Dobili smo da za svaki $ \varepsilon>0$ postoji $ n_{\varepsilon}$ takav da za svaki $ n\geq n_\varepsilon$ vrijedi $ \mid a_n-a\mid<\varepsilon$ , što smo i trebali dokazati.


NIZOVI I REDOVI     NIZOVI I REDOVI     Gomilište niza