×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Točke infleksije i intervali     DERIVACIJE I PRIMJENE     Geometrijski ekstrem II

Geometrijski ekstrem I

Odredite maksimalan volumen kružnog stošca izvodnice $s$ (vidi sliku 5.1).

Slika 5.1: Presjek kružnog stošca

Rješenje. Volumen stošca polumjera $r$ i visine $h$ iznosi

$$V(r)=\frac{1}{3}\,\pi r^2h .$$

Ako izrazimo visinu stošca preko polumjera $r$ i izvodnice $s$ formulom $h=\sqrt{s^2-r^2}$ , volumen možemo izraziti kao funkciju varijable $r$ ,

$$V(r)=\frac{1}{3}\,\pi r^2\sqrt{s^2-r^2}.$$

Trebamo odrediti onu vrijednost polumjera $r$ za koju je vrijednost funkcije $V(r)$ maksimalna pa najprije trebamo riješiti jednadžbu $V'(r)=0$ . Budući je

$$V'(r) =\frac{1}{3}\,\pi\left[ 2r\cdot\sqrt{s^2-r^2}+ r^2\cdot\frac{1}{2\sqrt{s^2-r^2}}\cdot \left(-2r\right)\right]$$

$$=\frac{1}{3}\,\pi r\left(2\cdot\sqrt{s^2-r^2}-\frac{r^2}{\sqrt{s^2-r^2}}\right)$$

$$=\frac{1}{3}\,\pi r\,\frac{2s^2-2r^2-r^2}{\sqrt{s^2-r^2}} =\frac{\pi r (2 s^2-3r^2)}{3 \sqrt{s^2-r^2}},$$

jednadžba $V'(r)=0$ se svodi na jednadžbu $r (2 s^2-3r^2)=0$ . Budući da je $r>0$ , jedino ješenje ove jednažbe je

$$r=\sqrt{\frac{2}{3} }s.$$

S obzirom da, uz zadanu izvodnicu $s$ kružni stožac maksimalnog volumena postoji, za dobiveni $r$ nije potrebno provjeravati dovoljne uvjete iz [M1, teorem 5.14]. Maksimalan volumen kružnog stošca izvodnice $s$ iznosi

$$V=V\left(\sqrt{\frac{2}{3} }s\right)=\frac{1}{3}\,\pi \left(\sqrt... ...t)^2\sqrt{s^2-\left(\sqrt{\frac{2}{3} }s\right)^2}=\frac{2\pi}{9\sqrt{3}}\,s^3.$$

Točke infleksije i intervali     DERIVACIJE I PRIMJENE     Geometrijski ekstrem II