×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
DERIVACIJE I PRIMJENE     DERIVACIJE I PRIMJENE     Deriviranje kompozicije funkcija


Pravila deriviranja

Odredite derivaciju funkcije $ f$ zadane s:

a)
$ f(x)=\sqrt[3]{x^2}-\sqrt{x\sqrt{x}}+\sqrt[7]{e}$ ,
b)
$ f(x)=\sin x \mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x$ ,
c)
$ f(x)=\displaystyle\frac{\cos x}{1+\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x}$ ,
d)
$ f(x)=\displaystyle\frac{\sin x}{x^3}+e^x\cos x-(x^3+2)\log x$ .

Rješenje.

a)
Zapišimo prva dva izraza u obliku potencije. Vrijedi

$\displaystyle \sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}} \quad\textrm{ i }\quad
\sqrt{x\sqrt{x}}=\sqrt{x}\sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{3}{4}}.$

Primijetimo da je $ \sqrt[7]{e}$ konstanta. Prema pravilu za deriviranje sume iz [*] [M1, teorem 5.2] te formulama za deriviranje potencije i konstantne funkcije iz [*] [M1, poglavlje 5.1.5] dobivamo

$\displaystyle f'(x)$ $\displaystyle =\left(x^{\frac{2}{3}} -x^{\frac{3}{4}}+\sqrt[7]{e}\right)' =\left(x^{\frac{2}{3}}\right)' -\left(x^{\frac{3}{4}}\right)'+\left(\sqrt[7]{e}\right)'$    
  $\displaystyle =\frac{2}{3}\,x^{\frac{2}{3}-1}-\frac{3}{4}\,x^{\frac{3}{4}-1}+0 ...
...}-\frac{3}{4}\,x^{-\frac{1}{4}} =\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\frac{3}{4\sqrt[4]{x}}.$    

b)
Prema pravilu za deriviranje produkta iz [*] [M1, teorem 5.2] i formulama za deriviranje trigonometrijskih i arkus funkcija iz [*] [M1, poglavlje 5.1.5] slijedi

$\displaystyle f'(x)$ $\displaystyle =(\sin x \mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x)'=\left(\sin x\right)...
...thrm{arctg}}\nolimits x+\sin x \left(\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x\right)'$    
  $\displaystyle =\cos x \mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x +\sin x\,\frac{1}{1+x^2}.$    

c)
Prema pravilu za deriviranje kvocijenta iz [*] [M1, teorem 5.2] i pravilima za deriviranje trigonometrijskih funkcija imamo

$\displaystyle f'(x)$ $\displaystyle =\left(\frac{\cos x}{1+\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x}\right)' =...
...hrm{tg}}\nolimits x\right)'} {\left(1+\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x\right)^2}$    
  $\displaystyle =\frac{\displaystyle-\sin x\left(1+\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits ...
...}-\frac{1}{\cos x}} {\displaystyle\frac{\left(\sin x+\cos x\right)^2}{\cos^2x}}$    
  $\displaystyle =\frac{\displaystyle\frac{-\sin x\cos x-\sin^2x-1}{\cos x}} {\dis...
...\cos^2x}} =\frac{-\cos x \left(\sin x\cos x+\sin^2x+1\right)}{1+2\sin x\cos x}.$    

d)
Primjenom pravila deriviranja iz [*] [M1, teorem 5.2] dobivamo

$\displaystyle f^\prime(x)$ $\displaystyle =\left(\frac{\sin x}{x^3}+e^x\cos x-(x^3+2)\log x\right)'$    
  $\displaystyle =\left(\frac{\sin x}{x^3}\right)^\prime +\left(e^x\cos x\right)^\prime - \left[\left(x^3+2\right)\log x\right]^\prime$    
  $\displaystyle =\frac{(\sin x)' x^3-\sin x \,(x^3)'}{x^6}+(e^x)'\cos x+e^x(\cos x)'$    
  $\displaystyle \qquad - [(x^3+2)'\log x+(x^3+2)(\log x)']$    
  $\displaystyle =\frac{\cos x\cdot x^3-\sin x\cdot 3x^2}{x^6}+e^x\cos x-e^x\sin x-3x^2\log x-\left(x^3+2\right)\, \frac{1}{x}\log e.$    


DERIVACIJE I PRIMJENE     DERIVACIJE I PRIMJENE     Deriviranje kompozicije funkcija