☰ matematika1

Asimptote funkcije s eksponencijalnim FUNKCIJE REALNE VARIJABLE Rješenja

Zadaci za vježbu

1.

Odredite područje definicije funkcije

zadane s

$\displaystyle f(x)=\arccos {\left(\log_{\frac{1}{3}} \sqrt {x^2+3}\right)}.$

2.

Odredite područje definicije funkcije

zadane s

$\displaystyle f(x)=\displaystyle\ln{\left(\arcsin{\frac{1-x^2}{2+x}}\right)}.$

3.

Odredite područje definicije funkcije

zadane s:

a): $f(x)=\ln(\sin{x})$ ,
b): $f(x)=\ln \vert\sin{x}\vert$ .

4.

Odredite područje definicije funkcije

zadane s:

a): $f(x)=\displaystyle\sqrt {3-x}+\arcsin {\frac{3-2x}{5}}$ ,
b): $f(x)=\displaystyle\arcsin{\frac{x-3}{2}}-\log{(4-x)}$ .

5.

Nacrtajte graf funkcije

zadane s:

a): $f(x)=2\sin {\left (\frac {1}{2}x-\frac {\pi }{4}\right )}$ ,
b): $f(x)=2\cos {\left (3x+\frac {\pi }{4}\right )}$ ,
c): $f(x)=\cos ^2 x$ .

6.

Neka je

$\displaystyle f(x)=x+2, \qquad g(x)=x^2, \qquad h(x)=\frac{1}{x}.$

Dokažite da vrijedi

$\displaystyle \left(f\circ g\right)\circ h=f\circ \left(g\circ h\right).$

7.

Odredite inverznu funkciju funkcije

zadane s

$\displaystyle f(x)=\ln {\frac{2x-1}{3x+2}}.$

8.

Odredite inverznu funkciju funkcije

zadane s

$\displaystyle f(x)=3\sin {2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}.$

9.

Izračunajte jednostrane limese

$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0+0} \frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}\quad\textrm{i}\quad \lim \limits_{x \to 0-0} \frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}.$

10.

Izračunajte jednostrane limese

$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0+0}\left[\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits {\... ...op{\mathrm{arctg}}\nolimits {\frac{1}{x}}+\frac{\vert\sin x\vert}{x} \right].$

11.

Izračunajte:

a): $\displaystyle\lim \limits_{x \to \infty}\frac{2x+3}{x+\sqrt[3]x^2}$ ,
b): $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2-3x+4}{\sqrt{x^4+1}}$ ,
c): $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}}$ ,
d): $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\sqrt{x^2-3x}-x+1}{x}$ .

12.

Izračunajte $\displaystyle \lim \limits_{x \to a} \frac{x^2-(a+1)x+a}{x^3-a^3}$ .

13.

Izračunajte:

a): $\displaystyle\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}$ ,
b): $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x}-1}$ .

14.

Izračunajte:

a): $\displaystyle\lim \limits_{x \to \pm\infty} \left(\sqrt {x^2+1}-\sqrt{x^2-1} \right)$ ,
b): $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^2+a^2}+x}{\sqrt{x^2+b^2}+x}$ .

15.

Izračunajte:

a): $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\cos{x}-\cos{a}}{x-a}$ ,
b): $\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{6}}\frac{2\sin{x}-1}{\cos{3x}}$ .

16.

Izračunajte:

a): $\displaystyle\lim \limits_{x \to 0} \left(\frac{x^2-2x+3}{x^2-3x+2} \right)^{\frac{\sin x}{x}}$ ,
b): $\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin{3x}}{x}\right)^{x+2}$ .

17.

Izračunajte:

a): $\displaystyle\lim \limits_{x \to 0} \sqrt[x]{1+\sin x}$ ,
b): $\displaystyle\lim_{x\to\infty}x[\ln{(1+x)}-\ln{x}]$ ,
c): $\displaystyle\lim_{x\to\infty}x(e^\frac{1}{x}-1)$ .

18.

Odredite parametar $\lambda$ tako da funkcija

zadana s

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix}5x^2-2x+\lambda, & x\geq0\\ \displaystyle\frac{\sin{x}}{x}, & x<0 \end{matrix}\right.$

bude neprekidna.

19.

Odredite parametar $\lambda$ tako da funkcija

zadana s

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix}e^{-x}+1, & x\geq0\\ x+\lambda, & x<0 \end{matrix}\right.$

bude neprekidna.

20.

Ispitajte vrste prekida funkcije

zadane s:

a): $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\vert x\vert} \textrm{ u točki } x=0$ ,
b): $\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{x^2}{\vert\sin{x}\vert}} \textrm{ u točki } x=0$ ,
c): $\displaystyle f(x)=\frac{1+x^2}{1+x} \textrm{ u točki } x=-1$ ,
d): $\displaystyle f(x)=\frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-49} \textrm{ u točki } x=7$ .

21.

Definirajte vrijednost funkcije

zadane s

$\displaystyle f(x)=\frac{x^3-1}{x-1}$

u točki

tako da dobivena proširena funkcija bude neprekidna na $\mathbb{R}$ .

22.

Definirajte vrijednost funkcije

zadane s

$\displaystyle f(x)=x\sin {\frac{1}{x}}$

u točki

tako da dobivena proširena funkcija bude neprekidna na $\mathbb{R}$ .

23.

Dokažite da je funkcija

zadana s

$\displaystyle f(x)=-\frac{3}{5}x+\frac{1}{4}$

neprekidna na $\mathbb{R}$ .

24.

Odredite asimptote funkcije

i skicirajte njen graf ako je

zadana s:

a): $f(x)=\displaystyle \frac {1}{x^2-1}$ ,
b): $f(x)=\displaystyle \frac{x^2+2x-3}{x+3}$ ,
c): $f(x)=\displaystyle \frac {x^2+2x-3}{x+5}$ ,
d): $f(x)=\displaystyle \frac {2x^2+9x+7}{3(x+4)}$ ,
e): $f(x)=\displaystyle \frac{x}{2x+3}\,e^\frac{1}{x}$ .

25.

Odredite asimptote funkcije

zadane s $f(x)=\ln {(1+x)}$ .

26.

Odredite asimptote funkcije

zadane s $f(x)=x-2\sqrt{x^2+x+1}$ .

27.

Odredite asimptote funkcije parametarski zadane s

$\displaystyle x(t)=\frac{2t}{t^2-1}\, e^t,\quad y(t)=\frac{e^{t^2}}{t+1}.$

Asimptote funkcije s eksponencijalnim FUNKCIJE REALNE VARIJABLE Rješenja