×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Potencija     Potencija     Potenciranje s realnim brojem


Potenciranje s racionalnim eksponentom

Funkciju

$\displaystyle f(x)=x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}
$

definiramo kao inverznu funkciju funkcije $ x^n$ ili njene restrikcije na interval $ [0,\infty)$ , ukoliko je $ n$ paran (vidi slike 4.20 i 4.21).

Slika 4.20: Funkcija $ f(x)=\sqrt {x}$
\begin{figure}\begin{center}
\leavevmode
\epsfig{file=slike/paran.eps,width=9.6cm}
\end{center}\end{figure}

Slika 4.21: Funkcija $ f(x)=\sqrt [3]{x}$
\begin{figure}\begin{center}
\leavevmode
\epsfig{file=slike/neparan.eps,width=9.6cm}
\end{center}\end{figure}

Napomena 4.7   Graf inverzne funkcije simetričan je grafu zadane funkcije s obzirom na simetralu I i III kvadranta, to jest pravac $ y=x$ .

Napomena 4.8   Uz sliku 4.21 vezana je zanimljiva primjedba. Uočite da je funkcija $ \sqrt[3]{x}=x^{1/3}$ nacrtana iz dva dijela na pomalo neobičan način. Mi znamo da je $ x^{1/3}$ inverzna funkcija funkcije $ x^3$ . Međutim, računala barataju samo s diskretnim podskupom skupa $ \mathbb{Q}$ (vidi poglavlje 1.7.1, a broj $ \frac{1}{3}=0.3333\ldots=0.\dot{3}$ ima beskonačni periodični decimalni zapis. Stoga programi za crtanje funkcije oblika $ x^{1/k}$ takve slučajeve često tretiraju kao potencije s realnim eksponentom koje su definirane samo za $ x>0$ (vidi poglavlje 4.6.2). Naredba za crtanje funkcije $ x^{0.33333}$ u programu Gnuplot tako daje sliku funkcije samo za $ x>0$ , dok se lijeva strana dobije tako što se nacrta funkcija $ -(-x)^{0.33333}$ .

Nadalje, za $ n\in \mathbb{N}$ možemo definirati funkciju

$\displaystyle f(x)=x^{-\frac{1}{n}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{n}}},
$

pri čemu je

$\displaystyle \mathcal{D}(x^{-\frac{1}{n}})=\mathcal{D}(x^{\frac{1}{n}}) \backslash \{ 0 \}.
$

Također možemo definirati i funkcije oblika

$\displaystyle f(x)=x^{\frac{m}{n}}, \qquad m\in \mathbb{Z}, \quad n\in \mathbb{N},
$

pri čemu se područje definicije određuje na temelju prethodnih pravila. Na primjer,

$\displaystyle \mathcal{D}( x^{\frac{2}{3}}) = \mathbb{R}, \qquad \mathcal{D}( x^{\frac{3}{2}}) =
[0, \infty).
$

Zadatak 4.8   Koje od funkcija $ x^k$ , $ x^{1/k}$ , $ k\in\mathbb{Z}$ , su omeđene (odozdo, odozgo), parne ili neparne, monotone ili po dijelovima monotone, neprekidne ili imaju prekide (kakvi su ti prekidi) te koje imaju vertikalne, horizontalne ili kose asimptote ?

Prisjetimo se da je skup racionalnih brojeva $ \mathbb{Q}$ zapravo skup klasa ekvivalencije na skupu $ \mathbb{Z}\times \mathbb{N}$ . Ukoliko su $ m$ i $ n$ relativno prosti tada je područje definicije uvijek jednoznačno određeno i vrijedi

$\displaystyle x^{\frac{m}{n}}= (x^m)^{\frac{1}{n}}=(x^{\frac{1}{n}})^m.
$

Ukoliko $ m$ i $ n$ nisu relativno prosti tada može doći do situacije kao u sljedećem primjeru:

  $\displaystyle f(x)=(\sqrt[4]{x})^2 = \sqrt{x}, \qquad \mathcal{D}= [0,\infty)$    
  $\displaystyle \mathrm{galeb}(x)=\sqrt[4]{x^2}, \qquad \mathcal{D}= \mathbb{R}.$    

Dok je prva funkcija prikazana na slici 4.20, funkcija $ \mathop{\mathrm{galeb}} (x)$ prikazana je na slici 4.22.

Slika 4.22: Funkcija $ \mathrm {\mathop {galeb}} (x)=\sqrt [4]{x^2}$
\begin{figure}\begin{center}
\leavevmode
\epsfig{file=slike/galeb.eps,width=10.8cm}
\end{center}\end{figure}

Slično je i $ \sqrt{x^2}=\vert x\vert$ (vidi sliku 1.1).


Potencija     Potencija     Potenciranje s realnim brojem