×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Pravac     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Primjene


Ravnina

Ravnina $ \rho$ je u prostoru $ {\cal E}$ zadana s tri točke $ T_1$ , $ T_2$ i $ T_3$ koje ne leže na istom pravcu. Za svaku točku $ T$ koja leži u ravnini $ \rho$ vektori $ \overrightarrow{T_1T}$ , $ \overrightarrow{T_1T_2}$ i $ \overrightarrow{T_1T_3}$ su komplanarni (slika 3.17). Stoga je volumen paralelopipeda što ga razapinju ti vektori jednak nula (primjer 3.8), odnosno

$\displaystyle \overrightarrow{T_1T}\cdot (\overrightarrow{T_1T_2}\times \overrightarrow{T_1T_3})=0.$ (3.10)

Uz oznake

$\displaystyle %
\mathbf{r}_1=\overrightarrow{OT_1}, \qquad \mathbf{r}=\overrigh...
...{OT}, \qquad
\mathbf{n}=\overrightarrow{T_1T_2}\times \overrightarrow{T_1T_3},
$

jednadžba (3.10) prelazi u vektorsku jednadžbu ravnine

$\displaystyle (\mathbf{r}-\mathbf{r}_1)\cdot \mathbf{n}=0.$ (3.11)

Vektor $ \mathbf{n}$ je normalni vektor ili normala ravnine $ \rho$ . Svaki vektor kolinearan s $ \mathbf{n}$ je također normala ravnine $ \rho$ .

Slika 3.17: Ravnina u prostoru
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/jrav.eps,width=9.6cm}\end{center}\end{figure}

Ako je u koordinatnom sustavu $ (O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})$

$\displaystyle %
\mathbf{n}=\{A,B,C\},\qquad
\mathbf{r}_1=\{ x_1,y_1,z_1\},\qquad
\mathbf{r}=\{x,y,z\},
$

tada vektorska jednadžba ravnine (3.11) prelazi u jednadžbu ravnine kroz točku $ T_1=(x_1,y_1,z_1)$ ,

$\displaystyle A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1)=0.$ (3.12)

Sređivanje gornje jednadžbe daje opći oblik jednadžbe ravnine

$\displaystyle Ax+By+Cz+D=0.$ (3.13)

U obje jednadžbe (3.12) i (3.13) brojevi $ A$ , $ B$ i $ C$ su skalarne komponente vektora normale $ \mathbf{n}$ .

Ako je

$\displaystyle %
T=(x,y,z), \qquad T_i=(x_i,y_i,z_i),\qquad i=1,2,3,
$

tada jednadžbu (3.10) možemo zapisati pomoću determinante. To nam daje jednadžbu ravnine kroz tri točke,

$\displaystyle \begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1& z_3-z_1\end{vmatrix} =0 .$ (3.14)

Zadatak 3.6   Pokažite da je jednadžba (3.14) ekvivalentna s

$\displaystyle %
\begin{vmatrix}
x&y&z&1\\ x_1&y_1&z_1&1\\ x_2&y_2&z_2&1\\ x_3&y_3&z_3&1
\end{vmatrix} =0.
$

Ako ravnina $ \rho$ ne prolazi ishodištem i ako za točke $ T_1$ , $ T_2$ i $ T_3$ odaberemo sjecišta ravnine s koordinatnim osima,

$\displaystyle %
T_1=(a,0,0),\qquad T_2=(0,b,0),\qquad T_3=(0,0,c), \qquad
a,b,c\neq 0,
$

tada iz (3.14) rješavanjem determinante

$\displaystyle %
\begin{vmatrix}
x-a&y&z\\ -a&b&0\\ -a&0&c\end{vmatrix} =0
$

dobijemo segmentni oblik jednadžbe ravnine

$\displaystyle %
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1, \qquad a,b,c\neq 0.
$


Pravac     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Primjene