☰ matematika1

Baza prostora VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA Vektorski produkt

Skalarni produkt

Definicija 3.4 Skalarni produkt vektora $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$ je broj

$\displaystyle % \mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\vert\mathbf{a}\vert\, \vert\mathbf{b}\vert \cos \angle(\mathbf{a},\mathbf{b}).$

Još koristimo oznake $\mathbf{a}\, \mathbf{b}$ i $(\mathbf{a},\mathbf{b})$ .

Skalarni produkt ima sljedeća svojstva:

S1.

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$ ako je $\mathbf{a}=\mathbf{0}$ ili $\mathbf{b}=\mathbf{0}$ ili $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$ ,

S2.

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\geq 0$ ako je $\angle(\mathbf{a},\mathbf{b})\leq \pi/2$ , a $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}< 0$ ako je $\angle(\mathbf{a},\mathbf{b})> \pi/2$ ,

S3.

vrijedi

	$\displaystyle \mathbf{i}\cdot\mathbf{i}=\mathbf{j}\cdot\mathbf{j}=\mathbf{k}\cdot\mathbf{k}=1,$
	$\displaystyle \mathbf{i}\cdot\mathbf{j}=\mathbf{j}\cdot\mathbf{i}=\mathbf{i}\cd... ...mathbf{k}\cdot\mathbf{i}=\mathbf{j}\cdot\mathbf{k}=\mathbf{k}\cdot\mathbf{j}=0,$

S4.

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}=\vert\mathbf{a}\vert\, \vert\mathbf{a}\vert=\vert\mathbf{a}\vert^2$ ,

S5.

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\vert\mathbf{a}\vert\, b_a$ , gdje je

$\displaystyle % b_a=\vert\mathbf{b}\vert\cos \angle(\mathbf{a},\mathbf{b})$

duljina projekcije vektora $\mathbf{b}$ na pravac definiran s vektorom $\mathbf{a}$ pomnožena s odgovarajućim predznakom prema svojstvu S2 (slika 3.9),

S6.

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}$ (komutativnost),

S7.

$\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+ \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$ (distributivnost),

S8.

$\lambda(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})=(\lambda\mathbf{a})\cdot\mathbf{b}= \mathbf{a}\cdot (\lambda\mathbf{b})$ (homogenost).

**Slika 3.9:** Skalarni produkt
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=slike/skalp.eps,width=7.2cm}\end{center}\end{figure}$

U koordinatnom sustavu računanje skalarnog produkta je vrlo jednostavno.

Teorem 3.2 Ako je

$\displaystyle % \mathbf{a}=a_x\mathbf{i}+a_y\mathbf{j}+a_z\mathbf{k}, \qquad \mathbf{b}=b_x\mathbf{i}+b_y\mathbf{j}+b_z\mathbf{k},$

tada je

$\displaystyle % \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z.$

Dokaz.

Tvrdnja slijedi iz svojstava S7, S8 i S3.

Q.E.D.

Ako su vektori $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$ zadani kao stupčane matrice, iz definicija matričnog množenja u poglavlju 2.1.3 i transponirane matrice u poglavlju 2.1.5 slijedi da skalarni produkt možemo zapisati i kao

$\displaystyle % \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}^T \mathbf{b}.$

Definicija skalarnog produkta 3.4 i teorem 3.2 omogućuju računanje kuta između dva vektora u prostoru pomoću formule

$\displaystyle \cos \angle(\mathbf{a},\mathbf{b})=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}} {\vert\mathbf{a}\vert\, \vert\mathbf{b}\vert}.$

Primjer 3.6 Kosinus kuta između vektora $\mathbf{a}=\{2,-3,1\}$ i $\mathbf{b}=\{1,1,0\}$ jednak je

$\displaystyle % \cos \angle(\mathbf{a},\mathbf{b})=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf... ...2\cdot 1-3\cdot 1+1\cdot 0} {\sqrt{4+9+1}\, \sqrt{1+1}} =-\frac{1}{2\sqrt{7}}.$

Na isti način, kosinus priklonog kuta kojeg vektor $\mathbf{a}=\{x,y,z\}$ zatvara s vektorom $\mathbf{i}$ jednak je

$\displaystyle % \cos \angle(\mathbf{a},\mathbf{i})=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{i}} {\vert\mathbf{a}\vert\, \vert\mathbf{i}\vert}=\frac{x} {\sqrt{x^2+y^2+z^2}},$

čime smo dokazali teorem 3.1.

Zadatak 3.1 Je li trokut $\triangle ABC$ , gdje je

pravokutan? Je li jednakokračan?

Baza prostora VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA Vektorski produkt