×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Koordinatizacija ravnine     Koordinatizacija     Duljina vektora, jedinični vektor,


Koordinatizacija prostora

Koordinatizaciju trodimenzionalnog prostora $ {\cal E}$ dobijemo slično kao u prethodnim poglavljima. Prvo odaberemo ishodište $ O$ i međusobno okomite pravce $ p$ , $ q$ i $ r$ koji prolaze kroz točku $ O$ . U ravnini razapetoj s pravcima $ p$ i $ q$ definiramo desni pravokutni koordinatni sustav $ (O,\mathbf{i},\mathbf{j})$ na način opisan u poglavlju 3.5.2. Potom na pravcu $ r$ definiramo koordinatni sustav $ (O,\mathbf{k})$ tako da vektori $ \mathbf{i}$ , $ \mathbf{j}$ i $ \mathbf{k}$ zadovoljavaju pravilo desnog vijka. Time smo definirali desni pravokutni koordinatni sustav $ (O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})$ u prostoru $ {\cal E}$ koji je prikazan na slici 3.7. Pri tome vrijedi

$\displaystyle %
\mathbf{i}=\overrightarrow{OI}, \quad \mathbf{j}=\overrightarro...
...{OK},
\qquad \vert\mathbf{i}\vert=\vert\mathbf{j}\vert=\vert\mathbf{k}\vert=1.
$

Slika 3.7: Koordinatizacija prostora
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/koordp.eps,width=10.2cm}\end{center}\end{figure}

Brojevni pravci koje smo nanijeli na pravce $ p$ , $ q$ i $ r$ su koordinatne osi i to redom apscisna, ordinatna i aplikatna os ($ x$ -os, $ y$ -os i $ z$ -os). Tri ravnine $ x$ -$ y$ , $ x$ -$ z$ i $ y$ -$ z$ , koje su određene odgovarajućim koordinatnim osima, zovu se koordinatne ravnine i dijele prostor na osam oktanata.

Neka je zadana točka $ T\in \cal E$ . Ravnine paralelne s koordinatnim osima koje prolaze kroz točku $ T$ sijeku koordinatne osi u točkama $ P$ , $ Q$ i $ R$ (slika 3.7). Koordinate tih točaka u koordinatnim sustavima $ (O,\mathbf{i})$ , $ (O,\mathbf{j})$ i $ (O,\mathbf{k})$ jednake su $ x$ , $ y$ i $ z$ . Brojevi $ x$ , $ y$ i $ z$ su koordinate točke $ T$ , odnosno $ x$ je apscisa, $ y$ je ordinata, a $ z$ je aplikata točke $ T$ .

Brojevi $ x$ , $ y$ i $ z$ su također skalarne komponente vektora $ \mathbf{a}=\overrightarrow{OT}$ u sustavu $ (O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})$ . Prema pravilu o zbrajanju vektora iz poglavlja 3.2 vrijedi (slika 3.7)

$\displaystyle %
\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OT'}+\overrightarrow{OR}=x\, \overrightarrow{OI} + y\, \overrightarrow{OJ}
+z\, \overrightarrow{OK},
$

odnosno

$\displaystyle %
\mathbf{a}=x\, \mathbf{i}+y\, \mathbf{j}+z\, \mathbf{k}.
$

Skalarne komponente jednoznačno su određene točkom $ T$ pa za označavanje vektora koristimo skraćene zapise

$\displaystyle %
\mathbf{a}=\{x,y,z\}, \qquad
\mathbf{a}=\begin{bmatrix}x& y & z\end{bmatrix}, \qquad
\mathbf{a}=\begin{bmatrix}x\\ y\\ z \end{bmatrix}.
$

Kako vektor u prostoru možemo zapisati ili kao retčanu matricu dimenzije $ 1\times 3$ ili stupčanu matricu dimenzije $ 3\times 1$ , zbrajanje vektora i množenje vektora skalarom odgovara zbrajanju matrica i množenju matrica skalarom.

U koordinatnom sustavu možemo naći skalarne komponente vektora, odnosno usmjerene dužine koja je zadana s dvije točke.

Primjer 3.2   Neka su zadane točke $ A=(x_A,y_A,z_A)$ i $ B=(x_B,y_B,z_B)$ . Kao što se vidi na slici 3.8 vrijedi

$\displaystyle %
\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB},
$

odnosno

$\displaystyle %
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}.
$

Dakle,

$\displaystyle %
\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A)\, \mathbf{i}+(y_B-y_A)\, \mathbf{...
..._A)
\, \mathbf{k} = \begin{bmatrix}
x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{bmatrix}.
$

Na primjer,

$\displaystyle %
A=(1,2,3)\quad \wedge \quad B=(-1,0,5)\quad
\Rightarrow \quad \overrightarrow{AB}=\{ -2,-2,2\}.
$

Slika 3.8: Komponente vektora
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/kompv.eps,width=7.2cm}\end{center}\end{figure}

Napomena 3.1   Kod definicije pravokutnih koordinatnih sustava u ovom i prethodnom poglavlju koristili smo međusobno okomite pravce. Međutim, koordinatni sustav se može definirati i s pravcima koji nisu međusobno okomiti. Tako kod koordinatizacije ravnine možemo uzeti bilo koja dva pravca koja prolaze kroz točku $ O$ i nisu paralelna. Slično, kod koordinatizacije prostora možemo uzeti bilo koju koordinatizaciju neke odabrane ravnine u prostoru i treći pravac koji prolazi kroz ishodište i ne leži u toj ravnini (vidi poglavlje 3.8).


Koordinatizacija ravnine     Koordinatizacija     Duljina vektora, jedinični vektor,