×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Apsolutna vrijednost     OSNOVE MATEMATIKE     Trigonometrijski oblik


Kompleksni brojevi

U ovom poglavlju definirat ćemo skup kompleksnih brojeva $ \mathbb{C}$ , osnovne računske operacije s kompleksnim brojevima i njihova svojstva, trigonometrijski oblik kompleksnog broja i operacije s brojevima u trigonometrijskom obliku te eksponencijalni oblik kompleksnog broja. Pretpostavljamo da čitatelj poznaje osnovna svojstva trigonometrijskih i arkus funkcija iz poglavlja 4.6.5 i 4.6.6.

Motivacija za uvođenje kompleksnih brojeva je sljedeća: jednadžba $ x^2-1=0$ ima dva rješenja u skupu $ \mathbb{R}$ , $ x=1$ i $ x=-1$ , dok slična jednadžba $ x^2+1=0$ nema niti jedno rješenje. Stoga se imaginarna jedinica $ i$ definira tako što su $ x=i$ i $ x=-i$ rješenja jednadžbe $ x^2+1=0$ . Iz ove definicije slijedi

$\displaystyle %
i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=-i\cdot i=-(-1)=1,\quad i^5=i,
\quad i^6=-1,\ \ldots.
$

Definicija 1.19   Skup kompleksnih brojeva $ \mathbb{C}$ je skup svih brojeva oblika $ z=x+iy$ , gdje su $ x,y\in \mathbb{R}$ . Posebno je $ 0=0+i0$ . Realni broj $ x=\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits z$ je realni dio kompleksnog broja $ z$ , a realni broj $ y=\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits z$ je imaginarni dio kompleksnog broja $ z$ . Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi. Konjugirano kompleksni broj broja $ z=x+iy$ je broj $ \bar z=x-iy$ . Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja $ z$ je nenegativni realni broj $ r=\vert z\vert=\sqrt{x^2+y^2}$ .

Neka su $ z_1=x_1+iy_1$ i $ z_2=x_2+iy_2$ dva kompleksna broja. Računske operacije su definirane na sljedeći način:

$\displaystyle z_1+z_2$ $\displaystyle = x_1+x_2+i(y_1+y_2),$    
$\displaystyle z_1-z_2$ $\displaystyle = x_1-x_2+i(y_1-y_2),$    
$\displaystyle z_1\cdot z_2$ $\displaystyle = (x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2+iy_1x_2+ix_1y_2+i^2y_1y_2$    
  $\displaystyle = x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1),$    
$\displaystyle \frac{z_1}{z_2}$ $\displaystyle = \frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}\cdot \frac{x_2-iy_2}{x_2-iy_2}$    
  $\displaystyle = \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + i \frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}, \quad \textrm{za}\quad z_2\neq 0.$    

Zadatak 1.5   Dokažite da za $ z,z_1,z_2\in \mathbb{C}$ vrijedi:
a)
$ \overline{z_1+z_2}=\bar z_1+\bar z_2$ ,
b)
$ \overline{z_1\cdot z_2}=\bar z_1\cdot\bar z_2$ ,
c)
$ \displaystyle \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=
\frac{\bar z_1}{\bar z_2}$ , za $ z_2\neq 0$ ,
d)
$ \Bar{\Bar{z}}=z$ ,
e)
$ z=\bar z \Leftrightarrow z\in \mathbb{R}$ ,
f)
$ z+\bar z=2 \mathop{\mathrm{Re}}\nolimits z$ ,
g)
$ z-\bar z= 2i\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits z$ ,
h)
$ \bar z\cdot z=z\cdot \bar z=\vert z\vert^2$ ,
i)
$ \vert z\vert=0 \Leftrightarrow z=0$ ,
j)
$ \vert z_1+z_2\vert\leq \vert z_1\vert+\vert z_2\vert$ (nejednakost trokuta).

Kompleksnom broju $ z=x+iy$ jednoznačno je pridružen uređeni par $ (x,y)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ , odnosno točka $ T=(x,y)$ u ravnini, kao što se vidi na slici 1.2.

Slika 1.2: Kompleksni broj
\begin{figure}\begin{center}
\leavevmode
\epsfig{file=slike/kombr.eps,width=9.6cm}
\end{center}\end{figure}

Iz slike 1.2 se vidi zašto su formule za zbrajanje kompleksnih brojeva slične formulama za zbrajanje vektora, odnosno zašto se posebno zbrajaju realni, a posebno imaginarni dijelovi.


Poglavlja


Apsolutna vrijednost     OSNOVE MATEMATIKE     Trigonometrijski oblik