×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Red realnih brojeva     Red realnih brojeva     Kriteriji konvergencije


Nužan uvjet konvergencije

Teorem 6.9   Ako je red $ \sum a_n$ konvergentan, tada je $ \lim a_n=0$ .

Teorem možemo iskazati drukčije: ako je $ \lim a_n\neq 0$ , tada red $ \sum a_n$ divergira.
Dokaz.

Neka je

$\displaystyle %
s=\sum a_n =\lim s_n,
$

pri čemu je $ \{s_n\}$ limes niza parcijalnih suma. Kako limes niza ne ovisi o pomicanju indeksa za konačan broj mjesta, vrijedi $ \lim s_{n-1}=s$ . Sada imamo

% latex2html id marker 44026
$\displaystyle %
\lim a_n=\lim (s_n-s_{n-1}) \stackrel{\textrm{Tm.\ \ref{n1.18} (ii)}}
{=}
\lim s_n-\lim s_{n-1} =0
$

i teorem je dokazan.     
Q.E.D.

Primjer 6.10   Harmonijski red

$\displaystyle %
\sum \frac{1}{n}$

ispunjava nužan uvjet konvergencije jer je $ \lim \frac{1}{n}=0$ , ali divergira, odnosno $ \sum \frac{1}{n}=+\infty$ . Dokažimo tu tvrdnju: niz parcijalnih suma $ \{s_k\}$ je strogo rastući, a za njegov podniz $ \{s_{2^m}\}$ vrijedi

$\displaystyle s_{2^m}=$ $\displaystyle \frac{1}{1} +\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+ \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+ \cdots$    
  $\displaystyle + \left(\frac{1}{2^{m-1}+1}+\frac{1}{2^{m-1}+2}+\cdots+ \frac{1}{2^m}\right)$    
$\displaystyle >$ $\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+ \left(\frac{1...
...\right)+ \cdots+ \left(\frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^m}+\cdots+ \frac{1}{2^m}\right)$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle 1+\frac{m}{2}.$    

Dakle, $ \lim_{m\to \infty} s_{2^m}= +\infty$ , što povlači $ \lim_{k\to \infty} s_k = +\infty$ .

Napomena 6.3   Red

$\displaystyle %
\sum \frac{1}{n^p}
$

konvergira za $ p>1$ , a divergira za $ p\leq 1$ , što ćemo analizirati u sljedećem poglavlju.


Red realnih brojeva     Red realnih brojeva     Kriteriji konvergencije