×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Cauchyjev niz     Niz realnih brojeva     Red realnih brojeva

Dva važna limesa

Pokažimo

$$% \lim \sqrt[n]{a}=1 \quad \textrm{za} \quad a>0,$$

tako što ćemo riješiti osnovnu nejednadžbu konvergencije.

Za $a=1$ tvrdnja je očita. Za $a>1$ vrijedi

$$% \vert\sqrt[n]{a} -1\vert<\varepsilon \Leftrightarrow \sqrt[n]{a} -1<\varepsilon \Leftrightarrow \sqrt[n]{a}<1+\varepsilon .$$

Logaritmirajući obje strane dobivamo

$$% \frac{1}{n}\ln a < \ln (1+\varepsilon ) \Leftrightarrow \frac{\ln a}{\ln (1+\varepsilon )} < n$$

odnosno

$$% n_{\varepsilon }=\left[\frac{\ln a}{\ln (1+\varepsilon )} \right] +1.$$

Za $a<1$ vrijedi

$$% \vert\sqrt[n]{a} -1\vert<\varepsilon \Leftrightarrow 1-\sqrt[n]{a}<\varepsilon \Leftrightarrow 1-\varepsilon <\sqrt[n]{a}.$$

Logaritmirajući obje strane dobivamo

$$% \ln (1-\varepsilon )< \frac{1}{n}\ln a \Leftrightarrow n> \frac{\ln a}{\ln (1-\varepsilon )}.$$

Nejednakost je promijenila smjer prilikom dijeljenja s negativnim brojem $\ln (1-\varepsilon )$ . Dakle,

$$% n_{\varepsilon }=\left[\frac{\ln a}{\ln (1-\varepsilon )} \right] +1.$$

Gornji limes mogli smo odrediti i primjenjujući proširenje po neprekidnosti. Naime, u ovom slučaju je

$$% \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a} = \lim_{x\to +\infty} \sqrt[x]{a}.$$

Sada na $\lim_{x\to +\infty} \sqrt[x]{a}$ možemo primijeniti tehnike za nalaženje limesa funkcija realne varijable (logaritamsko deriviranje, L'Hospitalovo pravilo , ...). Dakle,

$$% y=\lim_{x\to +\infty} a^{1/x} \Leftrightarrow \ln y = \ln (\lim_{x\to +\infty} a^{1/x}) = \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x} \ln a = 0$$

pa je $y=1$ .

Postupak proširenja po neprekidnosti se često koristi. Tako, na primjer, iz definicije broja $e$ iz poglavlja 6.1.3 slijedi

$$% e=\lim_{x\to +\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x,$$

a zamjenom $x=1/t$ slijedi

$$% e=\lim_{t\to 0} (1+ t)^{1/t}.$$

Slika 6.1 prikazuje $(1+1/x)^x$ i $(1+1/n)^n$ .

Slika 6.1: Proširenje po neprekidnosti

Zadatak 6.2   Pokažite

$$% \lim \sqrt[n]{n}=\lim_{x\to +\infty} \sqrt[x]{x}=1$$

tako što ćete riješiti osnovnu nejednadžbu konvergencije te pomoću proširenja po neprekidnosti.

Cauchyjev niz     Niz realnih brojeva     Red realnih brojeva