×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Gomilište i podniz     Niz realnih brojeva     Broj


Omeđenost, monotonost i konvergencija

U ovom poglavlju dokazat ćemo četiri teorema koji povezuju monotonost, omeđenost i konvergenciju nizova i podnizova.

Teorem 6.2   Svaki konvergentan niz je omeđen.

Dokaz.

Neka je $ a=\lim a_n$ . Odaberimo $ \varepsilon >0$ . Tada se članovi niza

$\displaystyle a_{n_{\varepsilon }},a_{n_{\varepsilon }+1},a_{n_{\varepsilon }+2},\ldots
$

nalaze unutar intervala $ (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )$ . To znači da za svaki $ n$ vrijedi

$\displaystyle %
\min\{a_1,a_2,\ldots, a_{n_{\varepsilon }-1},a-\varepsilon \} \leq a_n \leq
\max\{a_1,a_2,\ldots, a_{n_{\varepsilon }-1},a+\varepsilon \}
$

i teorem je dokazan.     
Q.E.D.

Teorem 6.3   Svaki niz ima monotoni podniz.

Dokaz.

Neka je zadan niz $ \{a_n\}$ . Definirajmo skup

$\displaystyle %
M=\{ m\in \mathbb{N}: n\geq m \Rightarrow a_n\geq a_m \}.
$

Na primjer, ako je niz zadan s

$\displaystyle %
a_1=1, a_2=3, a_3=2, a_4=4, a_5=5 \textrm{ i } a_n=n \textrm{ za }
n\geq 6,
$

tada je $ 1\in M$ , $ 2\not\in M$ , $ 3\in M$ . Skup $ M\subseteq \mathbb{N}$ je ili konačan ili beskonačan pa svaki od tih slučajeva razmatramo posebno.

Ako je skup $ M$ beskonačan, tada u njemu možemo odabrati strogo uzlazni niz

$\displaystyle %
n_1<n_2<\cdots <n_k<\cdots.
$

Prema definiciji skupa $ M$ vrijedi

$\displaystyle %
a_{n_1}\leq a_{n_2}\leq \cdots \leq a_{n_k}\leq \cdots.
$

Dakle, $ \{a_{n_k}\}$ je rastući podniz niza $ \{a_{n}\}$ i teorem je dokazan.

Ako je skup $ M$ konačan, odaberimo $ n_1\in \mathbb{N}$ koji je veći od svih elemenata od $ M$ . Tada postoji $ n_2\in\mathbb{N}$ takav da je $ n_2>n_1$ i $ a_{n_2}<a_{n_1}$ , jer bi u protivnom $ n_1$ bio iz $ M$ . Očito je i $ n_2\not\in M$ . Nastavljajući ovim postupkom dobivamo strogo uzlazni niz

$\displaystyle %
n_1<n_2<\cdots <n_k<\cdots,
$

čiji su elementi iz skupa $ \mathbb{N}\setminus M$ . Vrijedi

$\displaystyle %
a_{n_1}>a_{n_2}> \cdots > a_{n_k}> \cdots
$

pa je $ \{a_{n_k}\}$ strogo padajući podniz niza $ \{a_{n}\}$ .     
Q.E.D.

Teorem 6.4   Svaki monoton i omeđen niz je konvergentan.

Dokaz.

Dokazat ćemo slučaj kada je niz $ \{a_n\}$ padajući. Neka je $ a$ najveća donja međa skupa čiji su elementi članovi niza, $ a=\inf \{ a_1,a_2,\cdots \}$ . Tada

$\displaystyle %
(\forall \varepsilon >0) (\exists n_{\varepsilon }\in\mathbb{N}) \textrm{ takav da }
a_{n_{\varepsilon }}<a+\varepsilon .
$

Naime, u protivnom bi postojao $ \varepsilon >0$ takav da je $ a_n\geq a+\varepsilon $ za svaki $ n$ , što je u suprotnosti s pretpostavkom da je $ a$ infimum.

Niz je padajući pa za $ n\geq n_{\varepsilon }$ vrijedi

$\displaystyle %
a\leq a_n\leq a_{n_{\varepsilon }} \leq a+\varepsilon ,
$

odnosno $ \vert a_n-a\vert<\varepsilon $ . Dakle, definicija 6.1 povlači $ \lim a_n=a$ i teorem je dokazan.     
Q.E.D.

Koristeći ovaj teorem u poglavlju 6.1.3 dat ćemo definiciju broja $ e$ , odnosno baze prirodnih logaritama. Prethodna dva teorema nam također koriste za dokazivanje poznatog Bolzano-Weierstrassovog teorema.

Teorem 6.5   [Bolzano--Weierstrass]Svaki omeđen niz ima konvergentan podniz.

Dokaz.

Po teoremu 6.3 svaki niz ima monotoni podniz. Ako je zadani niz omeđen, tada je i monotoni podniz omeđen pa podniz konvergira po teoremu 6.4.     
Q.E.D.


Gomilište i podniz     Niz realnih brojeva     Broj