☰ matematika1

NIZOVI I REDOVI NIZOVI I REDOVI Gomilište i podniz

Niz realnih brojeva

U ovom poglavlju definirat ćemo niz realnih brojeva, osnovne tipove nizova, limes niza, odnosno konvergenciju niza, dokazati jedinstvenost limesa te dati nekoliko primjera.

Definicija niza je vrlo jednostavna.

Definicija 6.1 Niz realnih brojeva (kraće niz) je svaka funkcija $a:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ . Broj $a(n)\equiv a_n$ je -ti član niza.

Niz možemo označiti tako da napišemo prvih nekoliko članova i opći član:

$\displaystyle % a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots .$

Također koristimo oznake

$\displaystyle % (a_n) \quad \textrm{ili} \quad \{ a_n\}.$

Pri tome treba razlikovati niz $\{a_n\}$ od skupa $\{ a_n : n\in \mathbb{N}\}$ . Naime, kod niza svaki član ima točno određeno mjesto na kojem se nalazi, dok kod skupa to nije slučaj. Također, ako se elementi ponavljaju, tada skup ostaje isti, dok se niz mijenja.

Primjer 6.1

a)

Niz čiji je opći član

$\displaystyle a_n=\frac{n^2}{2n+1}$

glasi

$\displaystyle % \frac{1}{3}, \frac{4}{5},\frac{9}{7}, \frac{16}{9}, \ldots$

b)

Niz zadan s pravilom

$\displaystyle % a_n=\begin{cases}\displaystyle \frac{1-n}{n},&\text{za $n$\ neparan},\\ \displaystyle \frac{1}{n}, &\text{za $n$\ paran}, \end{cases}$

glasi

$\displaystyle % 0,\frac{1}{2},-\frac{2}{3}, \frac{1}{4}, -\frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \ldots$

c)

Niz zadan s pravilom

$\displaystyle % a_n=\left\{ \begin{array}{ll} 2n,& n \leq 3,\\ 8, & n \geq 4, \end{array} \right.$

glasi

$\displaystyle % 2,4,6,8,8,8,8,\ldots$

Ovo je takozvani stacionarni niz, odnosno niz sa svojstvom

$\displaystyle % (\exists r \in \mathbb{R}, \ \exists n_0\in \mathbb{N}) \quad \textrm{takvi da}\quad n\geq n_0 \Rightarrow a_n=r.$

Definicija 6.2 Niz $\{a_n\}$ je rastući (padajući, strogo rastući, strogo padajući, monoton) ako je takva pripadna funkcija $a:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ .

Na primjer, niz

$\displaystyle a_n=\frac{1}{n}=1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}, \ldots$

je monoton (strogo padajući) jer vrijedi

$\displaystyle % a_{n+1}=\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}=a_n.$

S druge strane, niz

$\displaystyle % a_n=\frac{(-1)^n+n}{n}= 0, \frac{3}{2}, \frac{2}{3},\frac{5}{4}, \frac{4}{5},\frac{7}{6},\ldots$

nije monoton.

Definicija 6.3 Realan broj

je granična vrijednost ili limes niza $\{a_n\}$ ako

$\displaystyle % (\forall \varepsilon > 0) (\exists n_{\varepsilon }\in \mathbb{... ...v da} \quad n\geq n_{\varepsilon } \Rightarrow \vert a_n-a\vert<\varepsilon .$

Niz koji ima limes je konvergentan odnosno konvergira. U protivnom je niz divergentan odnosno divergira.

Iz definicije zaključujemo da kod konvergentog niza svaki $\varepsilon$ interval $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )$ sadrži beskonačno članova niza, dok se izvan toga intervala nalazi samo konačno članova niza.

Konvergenciju niza označavamo na sljedeće načine:

$\displaystyle % a_n \to a, \quad \{a_n\}\to a, \quad \lim_{n\to\infty} a_n=a,\quad \lim a_n=a.$

Primjer 6.2 Dokažimo

$\displaystyle % \lim \frac{1}{n}=0.$

Zaista, neka je $\varepsilon >0$ proizvoljan. Tada

$\displaystyle % \left\vert \frac{1}{n}-0 \right\vert<\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{n}<\varepsilon \ \Leftrightarrow \frac{1}{\varepsilon }<n,$

pa je

$\displaystyle % n_{\varepsilon } =\left[ \frac{1}{\varepsilon }\right]+1.$

označavamo najveće cijelo pozitivnog broja

. Na primjer, za $\varepsilon =0.2$ je $n_{\varepsilon }=6$ pa se članovi niza $a_6,a_7,a_8,\ldots$ nalaze unutar intervala

. Kada smanjimo $\varepsilon$ , tada veći broj (ali uvijek konačan) članova niza ostane izvan intervala $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )$ , dok je uvijek beskonačno članova niza unutar tog intervala.

Postupkom iz primjera 6.2 riješili smo osnovnu nejednadžbu konvergencije za niz $\{a_n\}$ .

Definicija 6.4 Niz $\{a_n\}$ divergira prema $+\infty$ ako vrijedi

$\displaystyle % (\forall r > 0) (\exists n_{r}\in \mathbb{N}) \quad \textrm{takav da} \quad n\geq n_{r} \Rightarrow a_n>r.$

Slično, niz $\{a_n\}$ divergira prema $-\infty$ ako vrijedi

$\displaystyle % (\forall r < 0) (\exists n_{r}\in \mathbb{N}) \quad \textrm{takav da} \quad n\geq n_{r} \Rightarrow a_n<r.$

Na primjer, niz

divergira u $+\infty$ , a niz

divergira u $-\infty$ .

Napomena 6.1 Zbog jedinstvenosti terminologije u nastavku izlaganja, u prvom slučaju iz definicije 6.4 još kažemo da niz $\{a_n\}$ konvergira prema $+\infty$ i pišemo $\lim a_n=+\infty$ . Slično, u drugom slučaju iz definicije 6.4 još kažemo da niz $\{a_n\}$ konvergira prema $-\infty$ i pišemo $\lim a_n=-\infty$ .

Na kraju dokažimo jedinstvenost limesa.

Teorem 6.1 Niz može imati najviše jedan limes.

Dokaz.

Neka su

i $\bar a$ dva različita (konačna) limesa niza $\{a_n\}$ . Neka je $\varepsilon =\vert a-\bar a\vert/2$ . Tada se unutar intervala $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )$ mora nalaziti beskonačno članova niza, dok se izvan toga intervala nalazi samo konačno članova niza. Isto mora vrijediti i za interval $(\bar a-\varepsilon , \bar a+\varepsilon )$ . Kako su intervali disjunktni, to je nemoguće.

Q.E.D.

Poglavlja

NIZOVI I REDOVI NIZOVI I REDOVI Gomilište i podniz