×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Teoremi diferencijalnog računa     Teoremi diferencijalnog računa     Cauchyjev i Lagrangeov teorem


Fermatov i Rolleov teorem

Teorem 5.6   [Fermat] Neka funkcija $ f$ poprima u točki $ c\in(a,b)\subseteq\mathcal{D}$ svoju najmanju ili najveću vrijednost na intervalu $ (a,b)$ . Ako derivacija u točki $ c$ postoji, tada je $ f'(c)=0$ .

Dokaz.

Dokažimo teorem za slučaj da funkcija $ f$ u točki $ c$ poprima najveću vrijednost na intervalu $ (a,b)$ (dokaz u slučaju najmanje vrijednosti je sličan). Ako $ f$ nije derivabilna u točki $ c$ , tada je teorem dokazan. Ako $ f'(c)$ postoji, tada u točki $ x=c$ postoje i derivacije slijeva i zdesna i one su jednake. Vrijedi (vidi sliku 5.5):

$\displaystyle f'(c_-)$ $\displaystyle =\lim_{x\to c-0} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\big(\frac{-}{-}\big)\geq 0,$    
$\displaystyle f'(c_+)$ $\displaystyle =\lim_{x\to c+0} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\big(\frac{-}{+}\big)\leq 0.$    

Kako su ova dva limesa jednaka, oba moraju biti jednaka nuli pa je $ f'(c)=0$ .     
Q.E.D.

Slika 5.5: Fermatov teorem
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/fermat.eps,width=8.4cm}
\end{center}\end{figure}

Odabir otvorenog intervala u iskazu Fermatovog teorema je važan stoga što je u slučaju zatvorenog intervala moguće da funkcija poprima najmanju ili najveću vrijednost u točki koja se nalazi u intervalu, a u kojoj derivacija nije nula: ako na primjeru sa slike 5.5 promatramo zatvoreni interval $ [a,b]$ , tada funkcija svoju najmanju vrijednost na tom intervalu dostiže upravo u točki $ b$ u kojoj je očito $ f'(b)\neq 0$ .

Posljedica Fermatovog teorema je i sljedeći korolar.

Korolar 5.1   Funkcija $ f$ može imati ekstrem u točki $ x\in \mathcal{D}$ samo ako nije derivabilna u $ x$ (odnosno, ako $ f'$ ne postoji u $ x$ ) ili ako je $ f'(x)=0$ .

Više govora o ekstremima bit će u poglavlju 5.7.

Teorem 5.7   [Rolle] Neka je funkcija $ f$ neprekidna na zatvorenom intervalu $ [a,b]$ , derivabilna na otvorenom intervalu $ (a,b)$ te neka je $ f(a)=f(b)$ . Tada postoji točka $ c\in(a,b)$ takva da je $ f'(c)=0$ .

Dokaz.

Razlikujemo dva slučaja. Ako je funkcija $ f$ konstantna na intervalu $ [a,b]$ , odnosno $ f(x)=k$ , $ \forall x\in [a,b]$ , tada je $ f'(x)=0$ , $ \forall x\in (a,b)$ pa je teorem dokazan. Ako $ f$ nije konstantna, tada ona poprima svoju najveću ili najmanju vrijednost na intervalu $ (a,b)$ u nekoj točki $ c\in(a,b)$ pa tvrdnja slijedi iz Fermatovog teorema 5.6.     
Q.E.D.


Teoremi diferencijalnog računa     Teoremi diferencijalnog računa     Cauchyjev i Lagrangeov teorem