×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Pravila deriviranja     Derivacija     Derivacije elementarnih funkcija


Deriviranje implicitno zadane funkcije

Implicitno zadanu funkciju $ F(x,y)=0$ deriviramo tako da izraze koji sadrže zavisnu varijablu $ y$ deriviramo koristeći Teorem o deriviranju kompozicije 5.4.

Na primjer, želimo odrediti tangentu na elipsu

$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1
$

u točki $ x=1$ , $ y>0$ . Kako su lijeva i desna strana jednadžbe elipse jednake, jednake su im i derivacije. Pored toga, $ y^2$ deriviramo kao u primjeru 5.6. Dakle,

$\displaystyle \frac{2x}{4}+2yy'=0,
$

odnosno

$\displaystyle y'=-\frac{x}{4y}.
$

Vidimo da smo dobili izraz za derivaciju $ y'$ kao funkciju od $ x$ i $ y$ . Za točku u kojoj tražimo jednadžbu tangente vrijedi

$\displaystyle y(1)=+ \sqrt{1-\frac{1^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}
$

(pozitivnu vrijednost korijena smo uzeli zbog uvjeta $ y>0$ ) pa je koeficijent smjera tangente dan s

$\displaystyle y'(1)=-\frac{1}{2\sqrt{3}}.
$

Uvrštavanje u formulu (5.2) nakon sređivanja daje jednadžbu tražene tangente,

$\displaystyle y=-\frac{1}{2\sqrt{3}}x+\frac{2}{\sqrt{3}}.$ (5.3)

Zadana elipsa i njena tangenta prikazane su na slici 5.3.

Slika 5.3: Elipsa i tangenta
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/eltan.eps,width=8.4cm}
\end{center}\end{figure}


Pravila deriviranja     Derivacija     Derivacije elementarnih funkcija