×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Neodređeni oblik     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Primjena kada


Primjena $ \lim (\sin x/x) $ kada $ x\to 0$

Izračunajte:
a)
$ \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}x\sin{\frac{1}{x}}$ ,

b)
$ \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2\arcsin{x}}{3x}$ ,

c)
$ \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits {x}-\sin{x}}{x^3}$ ,

d)
$ \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}}{\sin^2 x}$ .

Rješenje. Ideja u ovim zadacima je transformirati izraz pod limesom tako da možemo primijeniti jednakost

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin (ax)}{x}=a,$ (4.1)

koja se dobije iz [*] [M1, primjer 4.6] supstitucijom $ ax=t$ .

a)
Supstitucijom $ \displaystyle \frac{1}{x}=t$ dobivamo

$\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}x\sin{\frac{1}{x}}=
\begin{Bmatrix}
\displa...
...\to\pm\infty\\
t\to 0\pm
\end{Bmatrix}=
\lim_{t\to 0\pm} \frac{\sin t}{t}=1.$

b)
Supstitucijom $ \arcsin x=t$ i primjenom [*] [M1, teorem 4.3] dobivamo

$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{2\arcsin{x}}{3x}=
\begin{Bmatrix}
\arcsin x=t...
...ac{2}{3}\cdot\frac{1}{\displaystyle\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t}}=\frac{2}{3}.$

c)
Primjenom identiteta $ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x=\frac{\sin x}{\cos x}$ i $ \sin^2 \frac{x}{2}=\frac{1}{2}(1-\cos x)$ dobivamo

$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits {x}-\sin{x}}{x^3}$ $\displaystyle = \lim_{x\to0}\frac{\sin x(1-\cos{x})}{x^3\cos x}=$    
  $\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{2\sin x \sin^2\frac{x}{2}}{x^3\cos x}=$    
  $\displaystyle =\lim_{x\to0}2\cdot\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}\cdot\frac{1}{\cos x}.$    

Zbog neprekidnosti kvadratne funkcije i [*] [M1, teorem 4.7 (ii)] vrijedi

$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}=\lim_{x\to0}{\left(\fra...
...}\frac{\sin \frac{x}{2}}{x}\right)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}.$

Prema [*] [M1, teorem 4.3] sada slijedi

$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits {x}-\sin{x}}{x^3}...
...^2}\cdot\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x}=2\cdot1\cdot\frac{1}{4}\cdot1=\frac{1}{2}.$

d)
Racionalizacijom brojnika, primjenom identiteta $ \sin^2 \frac{x}{2}=\frac{1}{2}(1-\cos x)$ te korištenjem [*] [M1, teorem 4.3] i [*] [M1, teorem 4.7 (ii)], dobivamo

  $\displaystyle \quad\,\lim_{x\to 0}\frac {\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}}{\sin^2 x} = ...
...cos x}}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x}}{\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x}}$    
  $\displaystyle = \lim_{x\to 0}\frac{2-(1+\cos x)}{\sin^2 x\cdot (\sqrt{2}+\sqrt{...
...os x})}= \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{\sin^2 x\cdot (\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})}$    
  $\displaystyle = \lim_{x\to 0} \frac{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin^2 x\c...
...\displaystyle\frac{\sin x}{x}\right)^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x}}$    
  $\displaystyle = 2\cdot\frac{\displaystyle\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin\frac{x}{...
...\left(\frac{1}{2}\right)^2}{1^2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{2}} =\frac{1}{4 \sqrt{2}}.$    


Neodređeni oblik     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Primjena kada