previous up next
Natrag: Ortogonalna projekcija točke Gore: VEKTORSKA ALGEBRA I   Naprijed: Udaljenost točaka  

Ortogonalna projekcija pravca na ravninu

Odredite parametarsku jednadžbu ortogonalne projekcije $ q$ pravca

$\displaystyle p  \ldots  \frac{x}{-2}=\frac{y-\frac{12}{7}}{1}=\frac{z-\frac{10}{7}}{3}$

na ravninu $ \pi \ldots 2x-y+5z-5=0.$

Rješenje. Neka je $ \pi_1$ ravnina koja sadrži pravac $ p$ i okomita je na ravninu $ \pi$. Pravac $ p$ prolazi točkom

$\displaystyle T=\left(0,\frac{12}{7},\frac{10}{7}\right)$

i ima vektor smjera $ \mathbf{s}=\{-2,1,3\}$. Vektor normale ravnine $ \pi$ je $ \mathbf{n} =\{2,-1,5\}$. Stoga ravnina $ \pi_1$ prolazi točkom $ T$ i vektor normale $ \mathbf{n}_1$ je kolinearan vektoru

$\displaystyle \mathbf{n}\times \mathbf{s}=
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf...
... & 1 & 3
\end{vmatrix}=-8\mathbf{i} -16 \mathbf{j}=-8(\mathbf{i} +2\mathbf{j}),$

pa možemo uzeti $ \mathbf{n}_1=\mathbf{i} +2\mathbf{j}$. Jednadžba ravnine $ \pi_1$ glasi

$\displaystyle 2\cdot(x-0)+4\cdot\left(y-\frac{12}{7}\right)+0\cdot\left(z-\frac{10}{7}\right)=0,$

odnosno

$\displaystyle 7x+14y-24=0.$

Pravac $ q$ je presjek ravnina $ \pi$ i $ \pi_1$, odnosno zadan je jednadžbama

$\displaystyle 2x-y+5z-5=0,$    
$\displaystyle 7x+14y-24=0.$    

Odredimo sada parametarsku jednadžbu pravca $ q$. Iz druge jednadžbe slijedi

$\displaystyle x=-2y+\frac{24}{7}.$

Uvrštavanjem u prvu jednadžbu dobivamo

$\displaystyle 2\left(-2y+\frac{24}{7}\right)-y+5z-5=0,$

odakle slijedi

$\displaystyle z=y-\frac{13}{35}.$

Stavimo li $ y=t, t\in\mathbb{R}$, dobivamo traženu parametarsku jednadžbu

$\displaystyle x=-2t+\frac{24}{7},\quad y=t,\quad z=t-\frac{13}{35},\quad t\in\mathbb{R}.$


previous up next
Natrag: Ortogonalna projekcija točke Gore: VEKTORSKA ALGEBRA I   Naprijed: Udaljenost točaka