×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Volumen tetraedra     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Pramen ravnina

Jednadžba ravnine

Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom $T_0(2,-1,3)$ i

a)

na koordinatnim osima odsijeca iste odsječke $a\neq0$ .

b)

sadrži $x$ -os.

c)

sadrži ishodište i točku $T(1,1,1)$ .

Rješenje.

a)

Prema [M1, poglavlje 3.14], segmentni oblik jednadžbe ravnine koja na koordinatnim osima odsijeca iste odsječke $a\neq0$ je

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1.$$

Ravnina prolazi točkom $T_0$ pa njene koordinate zadovoljavaju jednadžbu ravnine. Vrijedi

$$\frac{2}{a}+\frac{-1}{a}+\frac{3}{a}=1,$$

odakle je $a=4$ i jednadžba ravnine glasi

$$x+y+z-4=0.$$

b)

Prema [M1, poglavlje 3.14], opći oblik jednadžbe ravnine je

$$A x+B y+C z+D=0,$$

gdje je vektor normale tražene ravnine $\mathbf{n}=\{A, B, C\}$ . Budući da ravnina sadrži $x$ -os, vektor normale $\mathbf{n}$ je okomit na vektor $\mathbf{i}=\{1,0,0\}$ . Tada je $\mathbf{n} \cdot \mathbf{i}=0$ , odakle je $A=0$ . Nadalje, ravnina sadrži ishodište $O(0,0,0)$ pa je $D=0$ . Dakle, jednadžba tražene ravnine je oblika

$$B y+ C z=0,$$

odnosno

$$\frac{B}{C}\,y+z=0.$$

Konačno, točka $T_0$ leži u ravnini pa vrijedi

$$\frac{B}{C}\cdot(-1)+3 =0,$$

$$\frac{B}{C}=3$$

i jednadžba ravnine je

$$3y+z=0.$$

c)

Zadana ravnina prolazi točkama $O(0,0,0)$ , $T(1,1,1)$ i $T_0(2,-1,3)$ . Uz oznake $O(x_1,y_1,z_1)$ , $T(x_2,y_2,z_2)$ i $T_0(x_3, y_3, z_3)$ , prema [M1, poglavlje 3.14], jednadžba tražene ravnine je

$$\begin{vmatrix} x & y & z\\ 1 & 1 & 1\\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}=0.$$

Računanjem determinante na lijevoj strani dobivamo

$$x(3+1)-y(3-2)+z(-1-2)=0,$$

odnosno

$$4x-y-3z=0.$$

Volumen tetraedra     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Pramen ravnina