×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Volumen paralelopipeda     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Volumen tetraedra


Visina paralelopipeda

Izračunajte duljinu visine paralelopipeda razapetog vektorima

$\displaystyle \mathbf{a}=3\mathbf{i} + 2\mathbf{j}-5\mathbf{k}, \quad
\mathbf{...
...{i}-\mathbf{j}+4\mathbf{k}, \quad
\mathbf{c}=\mathbf{i}-3\mathbf{j}+\mathbf{k},$

kojemu je osnovica paralelogram razapet vektorima $ \mathbf{a}$ i $ \mathbf{b}$ .

Rješenje. Volumen paralelopipeda razapetog vektorima $ \mathbf{a}$ , $ \mathbf{b}$ i $ \mathbf{c}$ je jednak

$\displaystyle V=\vert(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}\vert.$    

S druge strane je $ V=B\cdot v$ , gdje je $ B$ površina osnovice paralelopipeda, a $ v$ duljina njegove visine spuštene na tu osnovicu. Budući je osnovica paralelogram razapet vektorima $ \mathbf{a}$ i $ \mathbf{b}$ , vrijedi $ B=\vert\mathbf{a}\times \mathbf{b}\vert$ , pa je

$\displaystyle V=\vert\mathbf{a}\times \mathbf{b}\vert \cdot v.$    

Sada je

$\displaystyle v=\frac{\vert(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}\vert}{\vert\mathbf{a}\times \mathbf{b}\vert}.$    

Prema [*] [M1, teorem 3.4] je

$\displaystyle (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=\begin{vmatrix}3 & 2 & -5 \\ 1 & -1 & 4 \\ 1 & -3 & 1\end{vmatrix}=49,$    

a prema [*] [M1, teorem 3.3] je

$\displaystyle \mathbf{a}\times \mathbf{b} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf...
... \\ 3 & 2 & -5 \\ 1 & -1 & 4\end{vmatrix}=3\mathbf{i}-17\mathbf{j}-5\mathbf{k},$    

pa je

$\displaystyle \vert\mathbf{a}\times \mathbf{b}\vert=\sqrt{3^2+(-17)^2+(-5)^2}=\sqrt{323}.$    

Uvrštavanjem dobivenih rezultata dobivamo da je duljina visine paralelopipeda jednaka

$\displaystyle v=\frac{49}{\sqrt{323}}.$


Volumen paralelopipeda     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Volumen tetraedra