Površina i visina trokuta

Trokut

zadan je vektorima $\overrightarrow{AB}=3\mathbf{p}-4\mathbf{q}$ i $\overrightarrow{BC}=\mathbf{p}+5\mathbf{q}$ , pri čemu je $\vert\mathbf{p}\vert=\vert\mathbf{q}\vert=2$ i $\angle(\mathbf{p},\mathbf{q})=\displaystyle\frac{\pi}{3}$ . Izračunajte površinu trokuta

i duljinu visine

spuštene iz vrha

Rješenje. Prema svojstvu V6 iz [M1, poglavlje 3.10] je

$\displaystyle P=\frac{1}{2}\vert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\vert.$

Uvrštavanjem $\overrightarrow{AB}=3\mathbf{p}-4\mathbf{q}$ i $\overrightarrow{BC}=\mathbf{p}+5\mathbf{q}$ , te primjenom svojstava vektorskog produkta V1, V3, V4 i V5 iz

[M1, poglavlje 3.10] dobivamo

$\displaystyle P$	$\displaystyle =\frac{1}{2}\,\vert(3\mathbf{p}-4\mathbf{q})\times(\mathbf{p}+5\m... ...times\mathbf{q}-4\mathbf{q}\times \mathbf{p}-20\mathbf{q}\times\mathbf{q}\vert=$
	$\displaystyle =\frac{1}{2}\,\vert 3\cdot 0+15\mathbf{p}\times\mathbf{q}-4(-\mat... ...f{p}\times \mathbf{q}\vert=\frac{19}{2}\,\vert\mathbf{p}\times \mathbf{q}\vert=$
	$\displaystyle =\frac{19}{2}\,\vert\mathbf{p}\vert\cdot \vert\mathbf{q}\vert\cdo... ...f{p},\mathbf{q}) =\frac{19}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot\sin \frac{\pi}{3}=19\sqrt{3}.$

Duljinu visine računamo iz formule

$\displaystyle P=\frac{1}{2}\,\vert\overrightarrow{AB}\vert\cdot v_C.$

Budući je

$\displaystyle \vert\overrightarrow{AB}\vert^2=(3\mathbf{p}-4\mathbf{q})^2=9\vert\mathbf{p}\vert^2-24\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}+16\vert\mathbf{q}\vert^2=52,$

slijedi

$\displaystyle v_C=\frac{2P}{\vert\overrightarrow{AB}\vert}=\frac{2\cdot19\sqrt{3}}{\sqrt{52}}=\frac{19\sqrt{39}}{13}.$