Skalarni produkt

Izračunajmo prvo skalarni produkt vektora $\mathbf{p}$ i $\mathbf{q}$ . Prema svojstvima skalarnog produkta S6, S7, S8 i S4 iz

[M1, poglavlje 3.9] te definiciji skalarnog produkta

[M1, definicija 3.4], vrijedi

$\displaystyle \mathbf{p}\cdot \mathbf{q}$	$\displaystyle = (\lambda \mathbf{a}+17\mathbf{b})\cdot (3\mathbf{a}-\mathbf{b})$
	$\displaystyle = 3\lambda\,\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}+(51-\lambda)\,\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}-17\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}$
	$\displaystyle = 3\lambda\, \vert\mathbf{a}\vert^2+(51-\lambda)\,\vert\mathbf{a}... ...t\mathbf{b}\vert\cdot\cos\angle(\mathbf{a},\mathbf{b})-17\vert\mathbf{b}\vert^2$
	$\displaystyle = 3\lambda\cdot 2^2+(51-\lambda)\,2 \cdot 5\cdot\cos\frac{2\pi}{3}-17\cdot5^2$
	$\displaystyle = 17 \lambda-680.$

Prema svojstvu S1 iz

[M1, poglavlje 3.9], vektori $\mathbf{p}$ i $\mathbf{q}$ će biti međusobno okomiti ako vrijedi $\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}=0$ , odnosno ako je $17\lambda-680=0$ . Dakle, rješenje je $\lambda = 40$ .

Prikažimo vektor $\mathbf{r}$ preko vektora $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$ . Vrijedi

$\displaystyle \mathbf{r}=4\mathbf{p}-23 \mathbf{q}= 4(40 \mathbf{a}+17\mathbf{b})-23(3\mathbf{a}-\mathbf{b})=91(\mathbf{a}+ \mathbf{b}).$

Prema svojstvu S4 iz

[M1, poglavlje 3.9] je

$\displaystyle \vert\mathbf{a}+ \mathbf{b}\vert^2$	$\displaystyle =(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}+\mathbf{b})$
	$\displaystyle =\mathbf{a}^2+2\,\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{b}^2$
	$\displaystyle =\vert\mathbf{a}\vert^2+2\,\vert\mathbf{a}\vert\cdot\vert\mathbf{b}\vert\cdot\cos\angle(\mathbf{a},\mathbf{b})+\vert\mathbf{b}\vert^2$
	$\displaystyle =2^2+2\cdot2\cdot5\cdot\cos\frac{2\pi}{3}+5^2=19.$

Slijedi $\vert\mathbf{a}+ \mathbf{b}\vert=\sqrt{19}$ , pa je duljina vektora $\mathbf{r}$ jednaka

$\displaystyle \vert\mathbf{r}\vert=\vert 91(\mathbf{a}+ \mathbf{b})\vert=91\vert\mathbf{a}+ \mathbf{b}\vert=91\sqrt{19}.$