×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Dokazivanje jednakosti matematičkom indukcijom     OSNOVE MATEMATIKE     Binomni poučak


Dokazivanje nejednakosti pomoću matematičke indukcije

Dokažite matematičkom indukcijom da za svaki prirodan broj $ n\geq 2$ vrijedi

$\displaystyle (1+a)^n > 1+na, \quad a>0.$ (1.8)

Rješenje. Označimo s $ M$ skup svih prirodnih brojeva $ n\geq 2$ za koje nejednakost (1.8) vrijedi. Za $ n=2$ dobivamo

$\displaystyle (1+a)^2=1+2a+a^2 > 1+2a,$    

pa vrijedi baza indukcije. Pretpostavimo da nejednakost (1.8) vrijedi za $ k=2,3,\ldots n$ . Trebamo pokazati da tada vrijedi i za $ k=n+1$ . Krenimo od lijeve strane nejednakosti. Korištenjem pretpostavke da (1.8) vrijedi za $ k=n$ , dobivamo

$\displaystyle (1+a)^{n+1} = (1+a)(1+a)^n > (1+a)(1+na)=1+(n+1)a+na^2 > 1+(n+1)a.$    

Dokazali smo da je

$\displaystyle (1+a)^{n+1} > 1+(n+1)a,$    

odnosno da nejednakost (1.8) vrijedi za $ k=n+1$ . Budući je $ n$ proizvoljan, iz principa matematičke indukcije P4 iz [*] [M1, definicija 1.13] slijedi $ M=\mathbb{N}$ . Dakle, nejednakost (1.8) je istinita za sve prirodne brojeve $ n\neq 1$ .


Dokazivanje jednakosti matematičkom indukcijom     OSNOVE MATEMATIKE     Binomni poučak