×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Regularna matrica     LINEARNA ALGEBRA     Računanje inverzne matrice pomoću


Računanje inverzne matrice Gauss-Jordanovom metodom

Gauss-Jordanovom metodom odredite inverz matrice

$\displaystyle A=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}.$

Rješenje. Matrica je gornje trokutasta zbog čega je determinanta jednaka umnošku elemenata na dijagonali, odnosno $ \det A =1$ . Dakle, determinanta je različita od nule pa postoji inverzna matrica. Elementarnim transformacijama isključivo nad retcima svedimo matricu na oblik $ \begin{bmatrix}I &\vline& B \end{bmatrix}$ . Tada je $ A^{-1}=B$ . Vrijedi

$\displaystyle \begin{bmatrix}A &\vline& I \end{bmatrix}$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 0 &\vline& 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1...
...0 & 1 \end{bmatrix} \begin{matrix}\scriptstyle{R_1-R_2}\\ \\ \\ \, \end{matrix}$    
  $\displaystyle \sim \begin{bmatrix}1 & 0 & -1 & 0 &\vline& 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & ...
...begin{matrix}\scriptstyle{R_1+R_3}\\ \scriptstyle{R_2-R_3}\\ \\ \, \end{matrix}$    
  $\displaystyle \sim\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 &\vline& 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 ...
...tyle{R_1-R_4}\\ \scriptstyle{R_2+R_4}\\ \scriptstyle{R_3-R_4}\\ \, \end{matrix}$    
  $\displaystyle \sim\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 &\vline& 1 & -1 & 1 & -1\\ 0 & 1...
...0 &\vline& 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 &\vline& 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$    

Dakle, inverz matrice $ A$ je

$\displaystyle A^{-1}=\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1\\
0 & 1 & -1 & 1\\
0 & 0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}.$