×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Laplaceov razvoj     LINEARNA ALGEBRA     Računanje determinante svođenjem na


Svojstva determinanti

Izračunajte determinante sljedećih matrica:
a)
$ A=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
a^2 & b^2 & c^2
\end{bmatrix}$ ,

b)
$ B=\begin{bmatrix}
-2 & 5 & 0 & -1 & 3 \\
1 & 0 & 3 & 7 & -2 \\
3 & -1 & 0 & 5 & -5 \\
2 & 6 & -4 & 1 & 2 \\
0 & -3 & -1 & 2 & 3
\end{bmatrix}$ .

Rješenje.

a)
Korištenjem svojstva D6. iz [*] [M1, poglavlje 2.9.1], determinantu transformirajmo tako da u prvom retku dobijemo što više nula i onda primijenimo Laplaceov razvoj po tom retku. Vrijedi

$\displaystyle \det A$ $\displaystyle =\begin{matrix}\begin{matrix}\qquad & \scriptstyle{S_2-S_1} & \sc...
... & 0 & 0 \\ a & b-a & c-a \\ a^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2 \end{vmatrix} \end{matrix}$    
  $\displaystyle = \begin{vmatrix}b-a & c-a \\ b^2-a^2 & c^2-a^2 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix}b-a & c-a \\ (b-a)(b+a) & (c-a)(c+a) \end{vmatrix}$    
  $\displaystyle =(b-a)\begin{vmatrix}1 & c-a \\ b+a & (c-a)(c+a) \end{vmatrix} =(b-a)(c-a)\begin{vmatrix}1 & 1 \\ b+a & c+a \end{vmatrix}$    
  $\displaystyle = (b-a)(c-a)(c-b).$    

b)
Budući da treći stupac ima najviše nula, transformirajmo determinantu tako da u tom stupcu ostane samo jedan element različit od nule. Korištenjem svojstva D6. iz [*] [M1, poglavlje 2.9.1] dobivamo

$\displaystyle \det B$ $\displaystyle =\begin{vmatrix}-2 & 5 & 0 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & 3 & 7 & -2 \\ 3 & ...
... -1 & 0 & 5 & -5 \\ 2 & 18 & 0 & -7 & -10 \\ 0 & -3 & -1 & 2 & 3 \end{vmatrix}.$    

Razvojem po trećem stupcu i primjenom istog postupka na prvi stupac dobivene determinante slijedi

$\displaystyle \det B$ $\displaystyle =(-1)\cdot(-1)^{5+3}\begin{vmatrix}-2 & 5 & -1 & 3 \\ 1 & -9 & 13...
...7 \\ 1 & -9 & 13 & 7 \\ 0 & 26 & -34 & -26 \\ 0 & 36 & -33 & -24 \end{vmatrix}.$    

Razvojem po prvom stupcu i primjenom svojstava D5. i D6. iz [*] [M1, poglavlje 2.9.1] je

$\displaystyle \det B$ $\displaystyle =-1\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}-13 & 25 & 17 \\ 26 & -34 & -26 ...
...} \begin{matrix}\scriptstyle{R_1+R_2}\\ \scriptstyle{R_3-R_2}\\ \\ \end{matrix}$    
  $\displaystyle =6\,\begin{vmatrix}0 & 8 & 4 \\ 13 & -17 & -13 \\ -1 & 6 & -5 \en...
...=6\cdot 4\,\begin{vmatrix}0 & 2 & 1 \\ 0 & 61 & 52 \\ -1 & 6 & 5 \end{vmatrix}.$    

Razvojem po prvom stupcu konačno dobivamo

$\displaystyle \det B$ $\displaystyle = 24\cdot (-1)\cdot (-1)^{1+3} \begin{vmatrix}2 & 1 \\ 61 & 52 \end{vmatrix}=-24\cdot(2\cdot 52-1\cdot 61)=-24\cdot 43$    
  $\displaystyle =-1032.$    


Laplaceov razvoj     LINEARNA ALGEBRA     Računanje determinante svođenjem na