Rang matrice

Odredite rang sljedećih matrica:

a): $A=\begin{bmatrix} 2 & -3 & 16 & 1 \\ 1 & 6 & -2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 2 \end{bmatrix}$ ,
b): $B=\begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 0 & 7 \\ -2 & -1 & 4 & 1 \\ 4 & -2 & 3 & 5 \end{bmatrix}$ .

Rješenje.

a)

Zamijenimo prvi i drugi redak da bi doveli broj

na mjesto

. Elementarnim transformacijama nad retcima iz

[M1, teorem 2.4] slijedi

$\displaystyle A$	$\displaystyle \sim\begin{bmatrix}1 & 6 & -2 & 3 \\ 2 & -3 & 16 & 1 \\ 1 & 3 & 2... ... & 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{matrix}\\ \\ \scriptstyle{5R_3-R_2} \end{matrix}$
	$\displaystyle \sim\begin{bmatrix}1 & 6 & -2 & 3 \\ 0 & -15 & 20 & -5\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$

Dobili smo matricu u reduciranom obliku koja je ekvivalentna polaznoj. Budući da je rang dobivene matrice jednak broju ne-nul redaka, prema

[M1, definicija 2.4], slijedi

$\displaystyle \mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)=2.$

b)

Zamijenimo prvi i drugi redak i zadanu matricu svedimo na reducirani oblik. Vrijedi

$\displaystyle B\sim\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 & 4 \\ 3 & 4 & 0... ... -3 & 0 \\ 0 & 4 & -3 & 1 \\ 0 & -1 & 6 & 5 \\ 0 & -2 & -1 & -3 \end{bmatrix}$

Podijelimo sada drugi redak s brojem

. Tada je

$\displaystyle B\sim\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 4 & -... ...& 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}.$

Prema [M1, teorem 2.4], dobivena matrica je ekvivalentna polaznoj, odnosno obje imaju isti rang. Budući je rang dobivene matrice jednak broju ne-nul redaka, slijedi

$\displaystyle \mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (B)=3.$

Homogeni sustav jednadžbi ovisan LINEARNA ALGEBRA Rang matrice ovisan o