×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Sustav jednadžbi u skupu     OSNOVE MATEMATIKE     Zadaci za vježbu


Sustav nejednadžbi u skupu kompleksnih brojeva

Odredite i skicirajte skup svih kompleksnih brojeva $ z$ za koje vrijedi

$\displaystyle \cos\left[\arg\left(-2iz^4\right)\right] \geq 0 \quad\textrm{ i }\quad \frac{\vert z+4\vert-6}{4-\vert z-2\vert}\leq 1.$    

Rješenje. Označimo $ \arg z=\varphi $ . Tada prema formulama [M1, (1.3)] [*] i [M1, (1.4)] [*] vrijedi

$\displaystyle \arg\left(-2iz^4\right) = \arg\left(-2i\right)+\arg\left(z^4\right)+2k\pi=\frac{3\pi}{2}+4\varphi +2k\pi, \qquad k\in \mathbb{Z}.$    

Nadalje, vrijedi

$\displaystyle \cos\left(\frac{3\pi}{2}+4\varphi +2k\pi\right)=\cos\left(\pi+\fr...
...{2}+4\varphi \right)=-\cos\left(\frac{\pi}{2}+4\varphi \right)=\sin(4\varphi ).$    

Stoga je

$\displaystyle \cos\left[\arg\left(-2iz^4\right)\right]=\sin(4\varphi )$

pa iz prve nejednadžbe slijedi da za argument $ \varphi $ mora vrijediti

$\displaystyle \sin(4\varphi )\geq 0,$ (1.12)

Slika 1.6: Rješenje nejednadžbe (1.12).
\begin{figure}
% latex2html id marker 1437
\begin{center}
\epsfig{file=osnove/zad119prva.eps, width=6cm}\end{center}\end{figure}

odnosno

$\displaystyle 0+2m\pi \leq 4\varphi \leq \pi+2m\pi, \quad m\in \mathbb{Z}.$    

Budući je $ \varphi \in [0,2\pi\rangle$ , svi mogući intervali su određeni s

$\displaystyle m = 0 \quad$ $\displaystyle \Longrightarrow \quad 0\leq \varphi \leq \frac{\pi}{4},$    
$\displaystyle m = 1 \quad$ $\displaystyle \Longrightarrow \quad \frac{\pi}{2} \leq \varphi \leq\frac{3\pi}{4},$    
$\displaystyle m = 2 \quad$ $\displaystyle \Longrightarrow \quad \pi \leq \varphi \leq \frac{5\pi}{4},$    
$\displaystyle m = 3 \quad$ $\displaystyle \Longrightarrow \quad \frac{3\pi}{2} \leq \varphi \leq\frac{7\pi}{4}.$    

Rješenje prve nejednadžbe je unija ovih dijelova kompleksne ravnine (vidi sliku 1.6).

Iz druge nejednadžbe slijedi

$\displaystyle \frac{\vert z+4\vert-6}{4-\vert z-2\vert}-1\leq0,$    

odnosno

$\displaystyle \frac{\vert z+4\vert+\vert z-2\vert-10 }{4-\vert z-2\vert}\leq0.$ (1.13)

Slika 1.7: Rješenje nejednadžbe (1.13).
\begin{figure}
% latex2html id marker 1471
\begin{center}
\epsfig{file=osnove/zad119druga.eps, width=6cm}\end{center}\end{figure}

Nejednakost (1.13) vrijedi u dva slučaja:

Slučaj 1.

$\displaystyle \vert z+4\vert+\vert z-2\vert-10 \geq 0$   i$\displaystyle \quad 4-\vert z-2\vert<0.$ (1.14)

Rješenje prve nejednadžbe je skup

$\displaystyle A = \left\{ z\in \mathbb{C}\colon \vert z+4\vert+\vert z-2\vert\geq 10\right\}.$    

Prema [*] [M1, primjer 1.4 (c)], skup $ A$ je dio kompleksne ravnine izvan elipse koja ima fokuse u točkama $ z_1=-4$ i $ z_2=2$ , veliku poluos $ a=5$ i malu poluos $ b=4$ , zajedno s rubom te elipse.

Rješenje druge nejednadžbe je skup

$\displaystyle B=\left\{ z\in \mathbb{C} \colon \vert z-2\vert>4\right\}.$    

Prema [*] [M1, primjer 1.4 (a)], skup $ B$ je dio kompleksne ravnine izvan kružnice radijusa $ 4$ sa središtem u točki $ z_0=2$ . Rješenje sustava nejednadžbi (1.14) je presjek skupova $ A$ i $ B$ .

Slučaj 2.

$\displaystyle \vert z+4\vert+\vert z-2\vert-10\leq 0$   i$\displaystyle \quad 4-\vert z-2\vert>0.$ (1.15)

Analogno prvom slučaju, rješenje prve nejednadžbe je dio kompleksne ravnine unutar elipse s fokusima u točkama $ z_1=-4$ , $ z_2=2$ , velikom poluosi $ a=5$ i malom poluosi $ b=4$ , rješenje druge nejednadžbe je dio kompleksne ravnine unutar kružnice radijusa $ 4$ sa središtem u točki $ z_0=2$ , a rješenje sustava nejednadžbi (1.15) je presjek tih skupova.

Konačno rješenje nejednadžbe (1.13) je unija rješenja u prvom i drugom slučaju (vidi sliku 1.7).

Konačno rješenje zadatka je presjek rješenja nejednadžbi (1.12) i (1.13) (vidi sliku 1.8).

Slika 1.8: Presjek skupova prikazanih na slikama 1.6 i 1.7.
\begin{figure}
% latex2html id marker 1504
\begin{center}
\epsfig{file=osnove/zad119treca.eps, width=6cm}\end{center}\end{figure}


Sustav jednadžbi u skupu     OSNOVE MATEMATIKE     Zadaci za vježbu