☰ matematika1

Primjena MacLaurinovih razvoja elementarnih NIZOVI I REDOVI Rješenja

Zadaci za vježbu

1.

Ako je opći član niza

$\displaystyle a_n=\frac{n-1}{n+1},$

odredite $a=\lim \limits_{n\to \infty}a_n$ te za $\varepsilon =10^{-4}$ odredite pripadni $n_{\varepsilon}$ .

2.

Odredite sva gomilišta niza čiji je opći član

$\displaystyle a_n=\frac{3n^2+2n}{n^2-1}\cdot\frac{1+(-1)^n}{2}+\frac{1-(-1)^n}{n}.$

3.

Ako je opći član niza

$\displaystyle a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right) \cos {n\pi},$

odredite sva gomilišta niza $\{a_n\}$ , $\inf a_n$ , $\sup a_n$ , $\liminf a_n$ i $\limsup a_n$ .

4.

Ako je opći član niza

$\displaystyle \displaystyle a_n=\frac{(1-a)n^2+2n+b}{an^2+n+1},$

odredite konstante

i

takve da je $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=2$ i

.

5.

Izračunajte limese niza čiji je opći član:

a): $a_n=\displaystyle \frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^n+3^n}$ ,
b): $a_n=\displaystyle \frac{(n+1)(3^n+1)}{2\cdot 3^n+1}$ ,
c): $a_n=\displaystyle \left(\frac{n+1}{n-1}\right)^n$ ,
d): $a_n=\displaystyle \left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^{(n+1)}$ ,
e): $a_n=\displaystyle \left(\frac{2n}{2n+1}\right)^{n}$ .

6.

Izračunajte limese niza čiji je opći član:

a): $\displaystyle a_n=\frac{n+7\sin n}{13-2n}$ ,
b): $\displaystyle a_n = \frac{2}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{n^2+\frac{1}{2}}}+\cdots +\frac{2}{\sqrt{n^2+\frac{1}{n}}}$ .

7.

Izračunajte limese niza čiji je opći član:

a): $\displaystyle a_n=\frac{n\sin(n!)}{n^2+1}$ ,
b): $\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\cos\left(n+\frac{1}{n}\right)$ .

8.

Izračunajte limese niza čiji je opći član:

a): $a_n=\displaystyle \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n k$ ,
b): $a_n=\displaystyle \frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2$ ,
c): $a_n=\displaystyle \frac{1}{n^3}\sum \limits_{j=1}^{n} \sum \limits_{i=1}^{j} i$ ,

9.

Izračunajte limes niza čiji je opći član

$\displaystyle a_n=\displaystyle \prod_{k=2}^n \frac{k^2+k-2}{k(k+1)}.$

10.

Izračunajte limes niza čiji je opći član

$\displaystyle a_n=\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1}\ln\left(1-\frac{1}{k^2}\right).$

11.

Zadani su nizovi s općim članovima

$\displaystyle a_n=\frac{cn^2+1}{(c+3)n^2+cn+4}\quad\textrm{ i}$

$\displaystyle b_n=\frac{1}{c(c+1)}+\frac{1}{(c+1)(c+2)}+\cdots+ \frac{1}{(c+n-1)(c+n)}.$

Odredite parametar

takav da je $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=4$ .

12.

Izračunajte sumu reda

$\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty} \log \left(1+\frac{1}{n}\right).$

13.

Izračunajte sumu reda

$\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+3)}.$

14.

Izračunajte sumu reda

$\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}.$

15.

Izračunajte sumu reda

$\displaystyle \frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+\frac{1}{7\cdot9}+\cdots.$

16.

Poredbenim kriterijem ispitajte konvergenciju reda:

a): $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\sin na}}$ ,
b): $\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\log\left(1+\frac{1}{n}\right)$ .

17.

D'Alembertovim kriterijem ispitajte konvergenciju reda:

a): $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{10^n}$ ,
b): $\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{3n^2-5}{n\, 2^n}$ .

18.

Cauchyjevim kriterijem ispitajte konvergenciju reda:

a): $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{2^n\cdot\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits ^n{n}}$ ,
b): $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^n\sin{\frac{2}{n}}$ .

19.

Ispitajte konvergenciju reda:

a): $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(n!)^2}$ ,
b): $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n-1)!}{2\cdot4\cdot6\cdots2n}$ ,
c): $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n(n!)^2}{n^{2n}}$ ,
d): $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{\frac{n}{2}}\cdot(2n)^{n+1}}{n!}$ ,
e): $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n}$ ,
f): $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{n}{n+\sqrt{n}}\right)^{n(1+\sqrt{n})}$ ,
g): $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\right]^{n^2}$ ,
h): $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n\cdot n^{2n}} { n+1 \choose n}^{2n}$ .

20.

Ispitajte konvergenciju reda

$\displaystyle 1+\frac{1}{a}+\frac{2^b}{a^2}+\frac{3^b}{a^3}+\cdots+\frac{n^b}{a^n}+\cdots,$

u ovisnosti o parametrima

.

21.

Raabeovim kriterijem ispitajte konvergenciju reda:

a): $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n\, (n!)^2}{(2n)!}$ ,
b): $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)!}{\left(2\cdot4\cdot6\cdots2n\right)^2}$ .

22.

Ispitajte konvergenciju reda

$\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{(a+1)(a+2)(a+3)\cdots(a+n)},$

u ovisnosti o parametru

.

23.

Ispitajte konvergenciju reda:

a): $\displaystyle 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{1}{32}+\cdots$ ,
b): $\displaystyle \sin{1}+\frac{\sin{2}}{2^2}+\frac{\sin{3}}{3^2}+\cdots+\frac{\sin{n}}{n^2}+\cdots$ .

24.

Leibnizovim kriterijem ispitajte konvergenciju reda:

a): $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$ ,
b): $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)$ ,
c): $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(\ln{n})^n}$ .

25.

Odredite područje konvergencije i ispitajte ponašanje na rubu područja konvergencije reda:

a): $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ ,
b): $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{(x+1)^{2n+1}}{n^2}$ ,
c): $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n}}{\sqrt{n^2+1}}$ ,
d): $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n}}{n\cdot 10^n}$ ,
e): $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{3^{n}}{n\cdot (x-5)^n}$ ,
f): $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{(-x^2+3x+2)^n}{n\cdot 2^n}$ .

26.

Odredite područje konvergencije reda

$\displaystyle (x-1)+\frac{2!(x-1)^2}{2^2}+\cdots+\frac{n!(x-1)^n}{n^n}+\cdots.$

27.

Razvijte u MacLaurinov red funkciju

zadanu s

a): $\displaystyle f(x)=\frac{2}{1+2x}$ ,
b): $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{1-x}$ ,
c): $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{2+x}$ ,
d): $\displaystyle f(x)=\frac{7}{(3x+2)(2x-1)}$ .

i odredite područje konvergencije dobivenog reda.

28.

Razvijte u Taylorov red funkciju

oko točke

ako je:

a): $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3-2x}$ i ,
b): $\displaystyle f(x)=e^{2x-6}$ i ,
c): $\displaystyle f(x)=\ln\sqrt{x-1}$ i ,
d): $\displaystyle f(x)=\ln\frac{2+x}{3+2x}$ i ,
e): $\displaystyle f(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)$ i $x_0=\displaystyle\frac{\pi}{2}$ ,

te odredite područje konvergencije dobivenog reda.

29.

Uz pomoć MacLaurinovog razvoja funkcije

izračunajte sumu reda

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n\cdot n!}.$

30.

Razvijte u Taylorov red oko točke

funkciju

zadanu s $\displaystyle f(x)=\ln\frac{1}{\left(\frac{1}{3}x+2\right)^4}$ , odredite područje konvergencije dobivenog reda i izračunajte sumu reda

$\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots.$

Primjena MacLaurinovih razvoja elementarnih NIZOVI I REDOVI Rješenja