×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Određivanje područja konvergencije Cauchyjevim     NIZOVI I REDOVI     Taylorov razvoj racionalne funkcije


Područje apsolutne konvergencije

Odredite područje apsolutne konvergencije reda

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^n}{(2n+1)(2n+3)}$    

i sumu reda u točki $ x=2$ .

Rješenje. Vrijedi

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert = \lim...
...vert= \lim_{n\to \infty} \frac{2n+1}{2n+5}\cdot \vert x-1\vert= \vert x-1\vert.$    

Prema D'Alembertovom kriteriju (iii) iz [*] [M1, teorem 6.10], red apsolutno konvergira za sve $ x\in \mathbb{R}$ za koje vrijedi $ \vert x-1\vert<1$ , odnosno za $ x\in\langle 0,2\rangle$ .

Preostaje ispitati apsolutnu konvergenciju u točkama $ x_1=0$ i $ x_2=2$ . Uvrštavanjem točke $ x_1=0$ dobivamo red

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+3)},$    

a točke $ x_2=2$ red

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}.$    

U oba slučaja vrijedi

$\displaystyle \vert a_n\vert = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right),$    

pa je parcijalna suma dana s

$\displaystyle s_k = \sum_{n=1}^k \vert a_n\vert = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-...
...k+1}-\frac{1}{2k+3}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}\right).$    

Iz ovoga slijedi da je

$\displaystyle \lim_{k\to \infty} s_k = \frac{1}{6},$    

što je suma reda u točki $ x_2=2$ . Također, zaključujemo da zadani red apsolutno konvergira u točkama $ x_1=0$ i $ x_2=2$ . Konačno, područje apsolutne konvergencije reda je segment $ [0,2]$ .


Određivanje područja konvergencije Cauchyjevim     NIZOVI I REDOVI     Taylorov razvoj racionalne funkcije