×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Određivanje područja konvergencije D'Alembertovim     NIZOVI I REDOVI     Područje apsolutne konvergencije

Određivanje područja konvergencije Cauchyjevim kriterijem

Odredite područje konvergencije i ispitajte ponašanje na rubu područja konvergencije reda:

a)

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n-1}}{n\cdot 3^n}$$ ,

b)

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2}{(n+1)^2}\cdot \frac{x^{2n}}{2^n}$$ ,

c)

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{1+3+\cdots+(2n-1)}\cdot\left(\frac{x+2}{2x+1}\right)^{2n}$$ .

Rješenje.

a)

Budući je

$$\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\vert a_n\vert}= \lim_{n\to \infty} \... ...n}}}{\sqrt[n]{n}\cdot3}= \frac{\vert x\vert^1}{1\cdot3}=\frac{\vert x\vert}{3},$$

prema Cauchyjevom kriteriju (iv) iz [M1, teorem 6.10], zadani red konvergira za sve $x\in \mathbb{R}$ za koje vrijedi $\vert x\vert<3$ , divergira za sve $x\in \mathbb{R}$ za koje je $\vert x\vert>3$ , a u točkama u kojima je $\vert x\vert=3$ nema odluke. Uvrštavanjem točke $x_1=-3$ dobivamo alternirani red

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}$$

koji, prema Leibnizovom kriteriju, konvergira, dok uvrštavanjem točke $x_2=3$ dobivamo harmonijski red

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$$

koji divergira. Dakle, zadani red konvergira za sve $x\in[-3,3\rangle$ , a inače divergira.

b)

Vrijedi

$$\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\vert a_n\vert}= \lim_{n\to \infty} \... ...n+1}\right)^\frac{2}{n}\cdot\frac{x^2}{2}= 1^0\cdot\frac{x^2}{2}=\frac{x^2}{2}.$$

Prema Cauchyjevom kriteriju, promatrani red konvergira za sve $x\in \mathbb{R}$ za koje vrijedi $x^2<2$ , a divergira za sve $x\in \mathbb{R}$ za koje je $x^2>2$ . Preostaje ispitati konvergenciju u točkama $x_1=-\sqrt{2}$ i $x_2=\sqrt{2}$ . Njihovim uvrštavanjem dobivamo red

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{(n+1)^2}$$

koji divergira jer ne zadovoljava nužan uvjet konvergencije iz [M1, teorem 6.9]. Dakle, zadani red konvergira za $x\in \langle-\sqrt 2,\sqrt 2 \rangle$ .

c)

Primjenom formule za sumu prvih $n$ članova aritmetičkog niza, dobivamo da je opći član zadanog reda jednak

$$a_n=\frac{1}{n^2}\cdot\left(\frac{x+2}{2x+1}\right)^{2n}.$$

Budući je

$$\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\vert a_n\vert} = \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\left\vert\frac{1}{n^2}\cdot\left(\... ...m_{n\to \infty} \frac{1}{(\sqrt[n]{n})^2}\cdot\left(\frac{x+2}{2x+1}\right)^{2}$$

$$= \left(\frac{x+2}{2x+1}\right)^{2},$$

prema Cauchyjevom kriteriju, zadani red konvergira za sve $x\in\mathbb{R}\backslash\{-\frac{1}{2}\}$ za koje vrijedi

$$\left(\frac{x+2}{2x+1}\right)^{2}<1,$$

odnosno za sve $x\in\langle -\infty,-1\rangle\cup\langle 1,+\infty\rangle$ , a divergira za sve $x\in\langle -1,1\rangle$ . Za točke $x_1=-1$ i $x_2=1$ , prema Cauchyjevom kriteriju, nema odluke. Pripadni red je

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$$

koji, prema [M1, napomena 6.3], konvergira. Slijedi da je područje konvergencije jednako $\langle-\infty,-1]\cup[ 1,+\infty\rangle$ .

Određivanje područja konvergencije D'Alembertovim     NIZOVI I REDOVI     Područje apsolutne konvergencije