D'Alembertov kriterij konvergencije

Ispitajte konvergenciju reda:

a): $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}$ ,
b): $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^n+1}$ .

Rješenje.

a)

Budući se radi o redu s pozitivnim članovima, možemo primijeniti D'Alembertov kriterij (iii) iz

[M1, teorem 6.10]. Zbog

$\displaystyle q=\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to \infty}\fra... ...{(n!)^2}{(2n)!}}= \lim_{n\to \infty}\frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}=\frac{1}{4}<1,$

promatrani red konvergira.

b)

Zadani red je s pozitivnim članovima i vrijedi

$\displaystyle q$	$\displaystyle =\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to \infty} \fra... ...isplaystyle\frac{n!}{2^n+1}}= \lim_{n\to \infty} \frac{(n+1)(2^n+1)}{2^{n+1}+1}$
	$\displaystyle = \lim_{n\to \infty} (n+1)\cdot\frac{1+\frac{1}{2^n}}{2+\frac{1}{2^n}} =+\infty.$

Primjenom D'Alembertovog kriterija (iii) iz

[M1, teorem 6.10] slijedi da zadani red divergira.