×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Jednakost kompleksnih brojeva     OSNOVE MATEMATIKE     Potenciranje kompleksnih brojeva


Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Odredite trigonometrijski oblik sljedećih kompleksnih brojeva:

a)
$ z=1+i$ ,

b)
$ \displaystyle z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\,i$ .

Rješenje.

a)
Za kompleksni broj $ z=1+i$ vrijedi $ \mathop{\mathrm{Re}}\nolimits z=1$ i $ \mathop{\mathrm{Im}}\nolimits z=1$ . Prema formulama iz [*] [M1, poglavlje 1.8.1] modul od $ z$ je

$\displaystyle \vert z\vert=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2},$

a argument od $ z$ je

$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi =\frac{1}{1}=1.$

Kako se $ z$ nalazi u prvom kvadrantu, slijedi da je $ \varphi =\frac{\pi}{4}$ . Stoga je

$\displaystyle 1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right).$

b)
Iz $ \mathop{\mathrm{Re}}\nolimits z=\frac{1}{2}$ i $ \mathop{\mathrm{Im}}\nolimits z=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ , prema formulama iz [*] [M1, poglavlje 1.8.1] slijedi

$\displaystyle \vert z\vert=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=1.$

Nadalje, kako se $ z$ se nalazi u četvrtom kvadrantu, vrijedi

$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi$ $\displaystyle = \frac{\displaystyle-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\displaystyle \frac{1}{2}}=-\sqrt{3},$    
$\displaystyle \varphi$ $\displaystyle =2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}.$    

Dakle,

$\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\,i=1\cdot\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right).$