×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Geometrijski ekstrem III     DERIVACIJE I PRIMJENE     Tok funkcije I


Geometrijski ekstrem IV

Odredite točku $ T$ takvu da tangenta na krivulju $ y=e^{-x}$ u točki $ T$ s koordinatnim osima zatvara trokut maksimalne površine (vidi sliku 5.4).

Slika 5.4: Trokut omeđen tangentom i koordinatnim osima
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=derivacije/trokut.eps, width=6.5cm}\end{center}\end{figure}

Rješenje. Označimo apcisu točke $ T$ s $ a$ . Tada jednadžba tangente $ t$ na krivulju $ y=e^{-x}$ u točki $ T$ glasi

$\displaystyle y-y(a)=y'(a)(x-a),$

odnosno

$\displaystyle y-e^{-a}=-e^{-a}(x-a).$ (5.4)

Neka tangenta $ t$ siječe $ x$ -os u točki $ T_1$ , a $ y$ -os u točki $ T_2$ . Uvrštavanjem redom $ y=0$ i $ x=0$ u (5.4) dobivamo

$\displaystyle T_1(a+1,0),\quad T_2(0,(a+1)e^{-a}).$

Stoga površina trokuta omeđenog tangentom $ t$ i koordinatnim osima iznosi

$\displaystyle P=\frac{1}{2}\,(a+1)^2e^{-a},$

i možemo je smatrati funkcijom varijable $ a$ . Vrijedi

$\displaystyle P'(a)$ $\displaystyle =\frac{1}{2}\,\left[2(a+1)\, e^{-a}+(a+1)^2\,(-e^{-a})\right]$    
  $\displaystyle =\frac{1}{2}\,(a+1)e^{-a}[2-(a+1)]=\frac{1}{2}\,(a+1)(-a+1)e^{-a}$    

pa jednadžba $ P'(a)=0$ ima dva rješenja,

$\displaystyle a_1=-1 \quad\textrm{ i }\quad a_2=1.$

Sada trebamo provjeriti dovoljne uvjete iz [*] [M1, teorem 5.14]. Iz

$\displaystyle P''(a)=\frac{1}{2}\,[(1-a^2)\,e^{-a}]'
=\frac{1}{2}\,[-2a\, e^{-a}+(1-a^2)\,(-e^{-a})]
=\frac{1}{2}\,(a^2-2a-1)e^{-a}$

slijedi

$\displaystyle P''(-1)$ $\displaystyle =e>0,$    
$\displaystyle P''(1)$ $\displaystyle =-\frac{1}{e}<0.$    

Dakle, funkcija $ P$ ima minimum u $ a=-1$ , a maksimum u $ a=1$ . Tražena točka je $ T(1,\frac{1}{e})$ .


Geometrijski ekstrem III     DERIVACIJE I PRIMJENE     Tok funkcije I