×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Geometrijski ekstrem I     DERIVACIJE I PRIMJENE     Geometrijski ekstrem III

Geometrijski ekstrem II

Presjek kanala za dovod vode ima oblik pravokutnika s polukrugom (vidi sliku 5.2). Uz zadanu površinu $P$ presjeka izračunajte polumjer polukruga tako da troškovi izgradnje budu što manji, ako su troškovi proporcionalni opsegu presjeka. Ispitajte dovoljne uvjete.

Slika 5.2: Presjek kanala

Rješenje. Uz oznake kao na slici 5.2, za površinu $P$ presjeka kanala vrijedi

$$P=2rv+\frac{r^2\pi}{2},$$

odakle je

$$v=\frac{1}{2r}\,\left(P-\frac{r^2\pi}{2}\right).$$

Uvrštavanjem u opseg $O$ presjeka kanala dobivamo da je

$$O=r\pi+2r+2v=r\pi+2r+\frac{1}{r}\,\left(P-\frac{r^2\pi}{2}\right) =\left(\frac{\pi}{2}+2\right)r+\frac{P}{r},$$

pa s $O$ možemo smatrati funkcijom varijable $r$ . Trebamo odrediti $r$ takav da opseg $O$ bude što manji pa najprije trebamo riješiti jednadžbu $O'(r)=0$ . Budući je

$$O'(r)=\left(\frac{\pi}{2}+2\right)-\frac{P}{r^2},$$

jednadžba $O'(r)=0$ se svodi na

$$\frac{P}{r^2}=\frac{\pi+4}{2},$$

a odatle je

$$r^2=\frac{2P}{\pi +4}.$$

Jer je $r>0$ , jedino rješenje je

$$r=\sqrt{\frac{2P}{\pi +4}}.$$

Ispitajmo dovoljne uvjete. Iz

$$O''(r)=\frac{2P}{r^3}$$

i $P>0$ slijedi

$$O''\left(\sqrt{\frac{2P}{\pi +4}}\right)=\frac{2P}{\left(\sqrt{\displaystyle\frac{2P}{\pi +4}}\right)^3}>0,$$

pa, prema [M1, teorem 5.14], funkcija $O$ ima minimum u dobivenom $r$ . Zbog proporcionalnosti su za taj $r$ i troškovi izgradnje kanala minimalni.

Geometrijski ekstrem I     DERIVACIJE I PRIMJENE     Geometrijski ekstrem III