×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Deriviranje implicitno zadane funkcije     DERIVACIJE I PRIMJENE     Deriviranje parametarski zadane funkcije

Derivacije višeg reda

Izračunajte $n$ -tu derivaciju funkcije $f$ u točki $x_0$ ako je:

a)

$f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$ i $x_0=-1$ ,

b)

$f(x)=\displaystyle \sin x$ i $x_0=\frac{\pi}{2}$ ,

za svaki prirodan broj $n$ .

Rješenje.

a)

Odredimo prvo $n$ -tu derivaciju funkcije $f$ . Iz $f(x)=x^{-1}$ slijedi

$$f'(x) =(-1)\, x^{-2},$$

$$f''(x) =(-1) (-2)\, x^{-3},$$

$$f'''(x) =(-1) (-2) (-3)\, x^{-4},$$

pa zaključujemo da je

$$f^{(n)}(x)=(-1) (-2) (-3)\cdots (-n) x^{-(n+1)} =(-1)^n n!\,x^{-(n+1)}.$$ (5.2)

Dobivenu formulu dokažimo matematičkom indukcijom iz [M1, definicija 1.13]. Baza indukcije vrijedi jer uvrštvanjem $n=1$ slijedi da je $f'(x)=-x^{-2}$ , što je istina. Pretpostavimo da (5.2) vrijedi za $n$ . Tada je

$$f^{(n+1)} =\left[(-1)^n n!\,x^{-(n+1)}\right]'=(-1)^n n!\, [-(n+1)x^{-(n+2)}]$$

$$=(-1)^{n+1}(n+1)!\, x^{-(n+2)},$$

pa (5.2) vrijedi i za $n+1$ čime smo pokazali korak indukcije.

Uvrštavanjem $x_0=-1$ dobivamo da je

$$f^{(n)}(x_0)=\frac{(-1)^n n!}{(-1)^{n+1}}=-n!,\quad n\in\mathbb{N}.$$

b)

Iz

$$f'(x) =\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right),$$

$$f''(x) =-\sin x=\sin\left(x+\frac{2\pi}{2}\right),$$

$$f'''(x) =-\cos x=\sin\left(x+\frac{3\pi}{2}\right),$$

zaključujemo da je

$$f^{(n)}(x)=\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right).$$ (5.3)

Baza indukcije očito vrijedi, a ispunjen je i korak jer ako (qrefoz2) vrijedi za $n$ , onda slijedi

$$f^{(n+1)}=\left[\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)\right]'=\cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)=\sin\left[x+\frac{(n+1)\pi}{2}\right].$$

Za $x_0=\frac{\pi}{2}$ je

$$f^{(n)}(x_0)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{n\pi}{2}\right).$$

Razlikujemo dva slučaja: kada je $n$ neparan i kada je $n$ paran. Neparan $n$ je oblika $2k-1$ za neki $k\in \mathbb{N}$ pa je

$$f^{(n)}(x_0)=\sin\left[\frac{\pi}{2}+\frac{(2k-1)\pi}{2}\right] =\sin\left(k\pi\right)=0.$$

Paran $n$ je oblika $n=2k$ za neki $k\in \mathbb{N}$ pa je

$$f^{(n)}(x_0)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{2k\pi}{2}\right) =\sin\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)=(-1)^k=(-1)^{\frac{n}{2}}.$$

Deriviranje implicitno zadane funkcije     DERIVACIJE I PRIMJENE     Deriviranje parametarski zadane funkcije