×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Asimptote racionalne funkcije     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Asimptote funkcije s eksponencijalnim

Asimptote iracionalne funkcije

Odredite asimptote funkcije $f$ zadane s

$$f(x)=\displaystyle \sqrt{4x^2+x}$$

i skicirajte njen graf.

Rješenje. Funkcija $f$ je definirana za sve $x\in \mathbb{R}$ za koje vrijedi $4x^2+x\geq 0$ pa je njeno područje definicije skup $\langle-\infty,-\frac{1}{4}]\cup[0,+\infty\rangle$ . Slijedi da $f$ nema vertikalne asimptote, jer se one mogu nalaziti samo u točkama prekida ili otvorenim rubovima područja definicije. Zbog

$$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\sqrt{4x^2+x}=+\infty,$$

odmah slijedi da $f$ nema horizontalnu asimptotu ni na lijevoj ni na desnoj strani.

Preostaje potražiti kose asimptote. Označimo s $k_1$ i $l_1$ koeficijent smjera i odsječak na $y$ -osi kose asimptote funkcije $f$ na desnoj strani. Tada je

$$k_1 =\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{4... ...c{\vert x\vert}{x}\cdot\lim_{x\to+\infty}\sqrt{4+\frac{1}{x}}=1\cdot\sqrt{4}=2,$$

$$l_1 =\lim_{x\to+\infty}[f(x)-2x]=\lim_{x\to+\infty}[\sqrt{4x^2+x}-2x]\cdot\frac{\sqrt{4x^2+x}+2x}{\sqrt{4x^2+x}+2x}$$

$$= \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{4x^2+x}+2x}=\lim_{x\to+\infty}... ...rt x\vert}\cdot \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{4+\frac{1}{x}}+2}=\frac{1}{4}.$$

Dakle, pravac $y=2x+\frac{1}{4}$ je kosa asimptota funkcije $f$ na desnoj strani.

Ako s $k_2$ i $l_2$ označimo koeficijent smjera i odsječak na $y$ -osi kose asimptote funkcije $f$ u lijevoj strani, onda na isti način dobivamo

$$k_2 =\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{\vert x\vert}{x}\cdot\lim_{x\to-\infty}\sqrt{4+\frac{1}{x}}=-1\cdot\sqrt{4}=-2,$$

$$l_2 =\lim_{x\to-\infty}[f(x)-2x]=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\vert x\vert}\cdot \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\sqrt{4+\frac{1}{x}}+2}=-\frac{1}{4}.$$

Stoga je pravac $y=-2x-\frac{1}{4}$ kosa asimptota funkcije $f$ na lijevoj strani. Graf funkcije prikazan je na slici 4.6.

Slika 4.6: Graf funkcije $f(x)= \sqrt {4x^2+x}$ .

Asimptote racionalne funkcije     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Asimptote funkcije s eksponencijalnim