×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Vrste prekida     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Asimptote iracionalne funkcije


Asimptote racionalne funkcije

Odredite asimptote i skicirajte graf funkcije $ f$ zadane s:
a)
$ f(x)=\displaystyle \frac {x^2}{x^2-4}$ ,

b)
$ f(x)=\displaystyle \frac {x^2+2x}{x-2}$ .

Rješenje. Asimptote određujemo prema formulama iz [*] [M1, poglavlje 4.5].

a)
Područje definicije funkcije $ f$ je $ \mathbb{R}\backslash\{-2,2\}$ . Stoga se vertikalne asimptote mogu nalaziti samo u točkama $ x_1=-2$ i $ x_2=2$ . Limesi slijeva i zdesna u tim točkama su:

$\displaystyle \lim_{x\to-2\pm0}f(x)$ $\displaystyle =\lim_{x\to-2\pm0}\frac{x^2}{x-2}\cdot\frac{1}{x+2}= -1 \cdot \lim_{t\to0\pm0}\frac{1}{t}=\mp\infty,$    
$\displaystyle \lim_{x\to2\pm0}f(x)$ $\displaystyle =\lim_{x\to2\pm0}\frac{x^2}{x+2}\cdot\frac{1}{x-2}= 1 \cdot \lim_{t\to0\pm0}\frac{1}{t}=\pm\infty.$    

Slijedi da su pravci $ x=-2$ i $ x=2$ vertikalne asimptote.

Ispitajmo ponašanje funkcije u beskonačnosti. Vrijedi

$\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{1-\frac{4}{x^2}}=1$

pa je pravac $ x=1$ horizontalna asimptota na lijevoj i desnoj strani. Stoga funkcija $ f$ nema kosih asimptota. Graf funkcije prikazan je na slici 4.4.

Slika 4.4: Graf funkcije $ f(x)=\displaystyle \frac {x^2}{x^2-4}$ .
\begin{figure}
% latex2html id marker 11613
\begin{center}
\epsfig{file=funkcije/zad422a.eps, width=8cm}\end{center}\end{figure}

b)
Područje definicije funkcije $ f$ je $ \mathbb{R}\backslash \{2\}$ . Zbog

$\displaystyle \lim_{x\to2\pm0}f(x)=\lim_{x\to2\pm0}(x^2+2x)\cdot\frac{1}{x-2}=8\cdot\lim_{t\to0\pm0}\frac{1}{t}=\pm\infty$

slijedi da je pravac $ x=2$ vertiklna asimptota.

Nadalje,

$\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1+\frac{2}{x}}{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}=\pm\infty$

povlači da zadana funkcija nema horizontalnu asimptotu ni na lijevoj ni na desnoj strani.

Potražimo kose asimptote. Ako s $ k$ označimo koeficijent smjera kose asimptote, a s $ l$ njen odsječak na $ y$ -osi, vrijedi

$\displaystyle k$ $\displaystyle =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x+2}{x-2}=1,$    
$\displaystyle l$ $\displaystyle =\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{4x}{x-2}=4,$    

pa je pravac $ y=x+4$ kosa asimptota na lijevoj i desnoj strani (vidi sliku 4.5).

Slika 4.5: Graf funkcije $ f(x)=\displaystyle \frac {x^2+2x}{x-2}$ .
\begin{figure}
% latex2html id marker 11650
\begin{center}
\epsfig{file=funkcije/zad422b.eps, width=8cm}\end{center}\end{figure}


Vrste prekida     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Asimptote iracionalne funkcije