×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Neprekidnost funkcije     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Asimptote racionalne funkcije

Vrste prekida

Ispitajte vrste prekida funkcije $f$ zadane s:

a)

$$f(x)=\frac{\sqrt{7+x}-3}{x^2-4}$$ u točkama $x_1=-2$ i $x_2=2$ ,

b)

$$f(x)=\frac{a^{\frac{1}{x}}-1}{a^{\frac{1}{x}}+1}$$ , gdje je $a>1$ , u točki $x=0$ .

Rješenje.

a)

Da bismo ispitali vrstu prekida funkcije u točkama $x_1$ i $x_2$ potrebno je izračunati limes s lijeve i desne strane u tim točkama.

Limes slijeva u točki $x_1=-2$ je

$$\lim_{x\to -2-0}\frac{\sqrt{7+x}-3}{x^2-4} = \lim_{x\to -2-0}\frac{\sqrt{7+x}-3}{x^2-4}\cdot\frac{\sqrt{7+x}+3}{\sqrt{7+x}+3}$$

$$= \lim_{x\to -2-0}\frac{x-2}{(x-2)(x+2)(\sqrt{7+x}+3)}$$

$$= \lim_{x\to -2-0}\frac{1}{(x+2)(\sqrt{7+x}+3)}=-\infty.$$

Limes zdesna u točki $x_1=-2$ dobivamo na isti način:

$$\lim_{x\to -2+0}\frac{\sqrt{7+x}-3}{x^2-4}=\lim_{x\to -2+0} \frac{1}{(x+2)(\sqrt{7+x}+3)}=+\infty.$$

Prema [M1, definicija 4.7], zadana funkcija ima prekid druge vrste u točki $x_1=-2$ .

Limes slijeva u točki $x_2=2$ je

$$\lim_{x\to 2-0} \frac{\sqrt{7+x}-3}{x^2-4}=\lim_{x\to 2-0} \frac{1}{(x+2)(\sqrt{7+x}+3)}=\frac{1}{24}.$$

Za limes zdesna u točki $x_2=2$ očigledno vrijedi

$$\lim_{x\to 2+0} \frac{\sqrt{7+x}-3}{x^2-4}=\lim_{x\to 2+0} \frac{1}{(x+2)(\sqrt{7+x}+3)}=\frac{1}{24}.$$

Limesi slijeva i zdesna u točki $x_2=2$ su jednaki pa, prema [M1, definicija 4.7], funkcija $f$ ima uklonjivi prekid u toj točki.

b)

Limes zdesna funkcije $f$ u točki $x=0$ računamo pomoću supstitucije $t=1/x$ :

$$\lim_{x\to 0+0} \frac{a^{\frac{1}{x}}-1}{a^{\frac{1}{x}}+1}= \beg... ...}\frac{a^t\left(1-\frac{1}{a^t}\right)}{a^t\left( 1+\frac{1}{a^t}\right)} = 1 .$$

Pri tome smo koristili

$$\lim_{t\to +\infty}\frac{1}{a^t}=0,\quad\textrm{za}\quad a>1.$$

Limes slijeva zadane funkcije u točki $x=0$ dobivamo na isti način:

$$\lim_{x\to 0-0}\frac{a^{\frac{1}{x}}-1}{a^{\frac{1}{x}}+1}= \begi... ...t-1}{a^t+1} = \lim_{t\to +\infty} \frac{\frac{1}{a^t}-1}{\frac{1}{a^t}+1} = -1.$$

Limesi slijeva i zdesna u točki $x=0$ su konačni i različiti pa, prema [M1, definicija 4.7], funkcija $f$ ima prekid prve vrste u toj točki.

Neprekidnost funkcije     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Asimptote racionalne funkcije